Valeurs propres de problèmes elliptiques indéfinis sur des ouverts non bornés
par Ali Djellit
Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées
Sous la direction de Jacqueline Fleckinger.
Soutenue en 1992
à Toulouse 3 .
mots clés-
Résumé
On etudie les problemes aux valeurs propres de la forme: au=g(x)u, dans ir#n; u=0 sur , ou est un ouvert non borne de ir#n, a est un operateur elliptique autoadjoint, non necessairement positif (par exemple a=+q, avec un potentiel q, non necessairement positif) et g, le poids, est une fonction definie sur et qui change de signe. Dans ce travail, on montre l'existence de valeurs propres et on etudie leur comportement asymptotique. Ici a##1 n'est pas compact et l'existence de valeurs propres est due au comportement du poids g a l'infini. Dans le premier chapitre, a designe soit l'operateur de laplace , soit l'operateur de schrodinger a=+q. Pour montrer l'existence des valeurs propres, on introduit les espaces de sobolev a poids et on considere deux cas selon la dimension de n (n>2 et n=2). Des hypotheses de decroissance du poids a l'infini entrainent l'existence d'une double infinite de valeurs propres (une positive et une negative). Pour estimer le comportement asymptotique, quand tend vers l'infini, des fonctions de comptage n#(,+q,g,) (nombre de valeurs propres positives inferieures a et nombre de valeurs propres negatives superieures a ), on utilise la methode de r. Courant; cette methode, qui est basee sur le principe du maxmin, consiste a decouper l'espace en petits cubes et a etudier sur chaque cube un probleme induit par le probleme. Selon le comportement du potentiel a l'infini, on etablit la formule classique de weyl ou celle de de wet-mandel. On etend ensuite ces resultats a des operateurs elliptiques d'ordre 2m dans le second chapitre. Dans la derniere partie, l'operateur a est du type schrodinger, precisement a=+q, ou le potentiel q, non necessairement positif, est suppose borne inferieurement. On utilise des resultats de fleckinger-mingarelli sur la theorie spectrale de tels problemes, souvent appeles completement indefinis. On considere un probleme a deux parametres pour montrer l'existence d'une infinite denombrable de valeurs propres positives. Pour obtenir des renseignements sur n#+(,+q,g,), on compare a des problemes indefinis a droite, et definis a gauche, et on utilise les resultats de fleckinger-lapidus pour les problemes indefinis a droite
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Titre traduit
Eigenvalues of non definite elliptic problems on unbounded open sets
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