Contribution à la modélisation et l'identification des systèmes mécaniques non linéaires

Contribution to modelling and to identification of nonlinear mechanical systems

• Auteur / Autrice : Claude-Henri Lamarque
• Direction : Louis Jézéquel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 1992
• Etablissement(s) : Ecully, Ecole centrale de Lyon

Résumé

Ce travail se propose d'étudier des outils permettant de modéliser et d'identifier des systèmes mécaniques non linéaires. Nous considérons au départ des non-linéarités analytiques. La théorie de la forme normale sera un outil privilégié de cette étude. Nous montrerons comment grâce à elle, nous pouvons retrouver les résultats classiques obtenus ailleurs par d'autres méthodes analytiques ou numériques: lien entre fréquence et conditions initiales, prise en compte des résonances, définitions de nombreuses familles de modes non linéaires (des modes normaux non linéaires (nnm), des modes normaux a l'unisson (snm). . . ) Analyse de leur stabilité par la transformation de Poincaré, analyse des phénomènes de bifurcation seront possibles pour des systèmes autonomes à nombre fini de degrés de liberté, dans un cadre hamiltonien ou plus général. Le calcul numérique effectif de solutions périodiques sera mené pour des situations non régulières: équations avec retard, équations avec discontinuités. Le problème du calcul approche et de la gestion de l'erreur sera abordé avec le problème des grandes amplitudes. Nous verrons ensuite comment l'on peut prendre en compte l'amortissement et les phénomènes de forcing périodique d'un système discret. Nous généraliserons la synthèse modale au cas de structures non linéaires de façon naturelle. Nous traiterons le cas d'excitations paramétriques de tels systèmes, en mettant en avant le traitement des équations de Mathieu, et de Hill. Nous introduisons ensuite la notion de modes complexes non linéaires. La transformation normale sera adaptée au traitement d'équations aux dérivées partielles de la mécanique (équation de poutres vibrantes, vibration de plaques selon le modèle de Von Karman); nous proposerons d'utiliser cet outil pour modéliser les phénomènes non linéaires sur des systèmes connus, après utilisation des techniques de discrétisation ou nous tenterons une approche de la théorie de la forme normale directement sur les équations aux dérivées partielles modélisant la structure. Nous évoquerons pour terminer les comportements complexes de systèmes discrets à petit nombre de degrés de liberté, et nous montrerons que si la transformation normale est un outil adapte à la description (de transitions vers des comportements complexes) à la construction de grandeurs introduisant une manière d'ordre dans ces comportements complexes (exposants de Lyapunov, nombre de rotation) d'un point de vue théorique, le calcul effectif des cycles dans la transition est biaisé par le problème posé par le calcul en grandes amplitudes. Nous proposons alors des méthodes numériques et l'étude d'exemples simples d'oscillateurs dans l'optique de la contrôlabilité de systèmes chaotiques. Nous signalerons l'existence de travaux permettant d'ouvrir une voie vers la construction de la théorie dans le cas d'excitations aléatoires ou discontinues. Tout au long de ce travail des éléments de comparaison avec des méthodes tant analytiques que numériques, permettront un passage en revue de nombreuses méthodes utiles dans l'étude de systèmes mécaniques dynamiques et non linéaires. Nous signalerons les perspectives de développement de ce travail.