Existence de lois de conservation et de systemes bihamiltoniens

Conservation laws and twofold hamiltonian manifolds

• Auteur / Autrice : MOHAMAD MEHDI
• Direction : Joseph Grifone
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures. Géométrie différentielle
• Date : Soutenance en 1991
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Résumé

Une loi de conservation sur une variete differentiable m par rapport a un champ d'endomorphisme h de tm, est une 1-forme scalaire tel que d=0 et d(h*)=0h* etant le transpose de h. Les lois de conservations ont ete introduites par lax dans l'etude de l'integrabilite des systemes differentiels et systemes bihamiltoniens. On sait en effet, d'apres les travaux de magri que le cadre geometrique des systemes completement integrables est une variete munie d'un couple de tenseurs de poisson compatibles (p,q). Les systemes completement integrables sont les champs hamiltoniens definis par les deux structures i. E. Les champs x du type x=pdh=qdk h, k deux fonctions sur m. Si par exemple p est inversible cette condition equivaut a p##1qdk=dh, ce qui signifie que dk est une loi de conservation par rapport au champ d'endomorphismes h=p##1q. Ainsi la recherche des champs completement integrables equivaut (modulo certaines conditions sur les tenseurs de poisson) a la recherche des lois de conservations. Le but de ce travail est double: 1) etudier quand un couple de tenseur de poisson compatible donne lieu, par passage au quotient a un certain feuilletage associe a un operateur de recursion h; 2) etudier l'integrabilite formelle de l'operateur differentiel qui donne les lois de conservations associees a h. Le premier probleme a ete pose par magri. On trouve une condition algebrique portant sur p et q qui assure l'existence de l'operateur h. Le deuxieme probleme a ete etudie par osborn qui a obtenu des resultats tres partiels et incomplets, sans doute a cause de la grande complexite technique du probleme. On donne la solution dans le cas general a l'aide de la theorie de spencer-goldschmidt