Familles génériques à quatre paramètres de champs de vecteurs quadratiques dans le plan : singularité à partie linéaire nulle

par Fatima-Zohra Khechichine

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Robert H. Roussarie.

Soutenue en 1991

à Dijon .

mots clés

• Champs vectoriels
• Bifurcation, Théorie de la
• Noeuds, Théorie des
• Singularités (mathématiques)

Résumé

Dans cette thèse on étudie les déploiements génériques d'un type de singularités de codimension 4 ou la partie linéaire du champ est identiquement nulle. Après avoir posé des conditions génériques sur les coefficients de la partie quadratique, on a étudié le diagramme de bifurcation des points singuliers ainsi que le nombre et type de singularités qui se projettent sur chaque ouvert du diagramme. De plus on a établi les résultats suivants : dans certains cas (dépendant des coefficients de la partie quadratique) le diagramme de bifurcation des points singuliers coupé par la sphère S3, est un tore de plus autour duquel une ligne de selle-noeuds de codimension 2 forme un noeud de type (3,1). Dans ce cas on ne peut se restreindre à la partie quadratique pour l'étude des autres bifurcations car on montre facilement qu'on peut toujours trouver une ligne dans l'espace des paramètres le long de laquelle le champ présente une singularité de type centre. Dans les autres cas le diagramme de bifurcation coupé par la sphère S3 est un tétraèdre plongé dans une sphère de plis, les sommets de ce tétraèdre sont des queues d'arondes et ses cotes sont des lignes de selle-noeuds de codimension 2 et des lignes de self-intersection de plis. Dans ce dernier cas, on a aussi étudié les bifurcations de Hopf, on a exhibé les difficultés rencontrées lors de l'étude des bifurcations qui ne sont pas données par des équations algébriques et on s'est contenté de donner des conjectures sur le comportement des connexions de selle et sur le nombre et les bifurcations des cycles limités dans les cas les plus simples.

Titre traduit

Generic four parameters family of quadratic vector fields in the plane : singularity whose linear part is identically zero

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