Analyse et contrôle de l'équation de Duffing et des phénomènes de ferrorésonance dans les lignes électriques : calcul des bassins d'attraction : continuation des tores invariants et solutions quasi-périodiques

par Laurent Debraux

Thèse de doctorat en Contrôle des Systèmes

Sous la direction de Jean-Pierre Kernévez.

Soutenue en 1990

à Compiègne , dans le cadre de École doctorale 71, Sciences pour l'ingénieur (Compiègne) .

mots clés

• Bassins d'attraction
• Équations de Duffing
• Lignes électriques
• Résonance ferromagnétique
• Systèmes dynamiques
• Bifurcation, Théorie de la
• Tore (géométrie)
• Invariants
• Chaos (théorie des systèmes)
• Équations différentielles

Résumé

La ferrorésonance sur les lignes électriques est liée à la saturation magnétique des noyaux des transformateurs, cette non-linéarité peut engendrer des régimes sous-harmoniques, quasi-périodiques ou même chaotiques. Les modèles non distribués de telles lignes sont représentés par des équations différentielles à forçage périodique, comme par exemple l'équation de Duffing. Ce travail est consacré à l'étude de tels systèmes et de leurs bifurcations. Apres un rappel théorique dans le chapitre 1, nous avons dans les chapitres 2, 3 et 4 effectué une étude des solutions périodiques, nous avons développé des méthodes pour la recherche des sous-harmoniques et nous avons traité du contrôle des points singuliers. Le chapitre 5 concerne le calcul des bassins d'attraction des régimes permanents. Les chapitres 6 et 7 sont consacrés à la détermination de branches de tores invariants (stables ou instables) issues de bifurcations vers le tore de difféomorphismes. La méthode proposée est originale et consiste à suivre les cercles invariants dans un système de coordonnées locales constamment adaptées. Ce programme a en particulier été utilisé pour la détermination de solutions quasi-périodiques dans des modèles de ligne électrique en considérant la section de Poincaré. De nombreux développements complémentaires sont envisageables.

Titre traduit

Analysis and control of Duffing's equation and ferroresonance phenomena in electric transmission lines : computation of domains of attraction : continuation of invariant torus and quasiperiodic solutions

Résumé

Ferroresonance on electric transmission lines are related to magnetic saturation of iron cores in transformers, this non-linearity is used to generate subharmonics, quasiperiodic or even chaotic motions. Non distributed parameter models for electric lines can be written as ordinary differential equations with periodic excitation as for instance Duffing’s equation. We start in chapter 1 with some theoretic preliminaries, then in chapters 2, 3 and 4 we study periodic solutions, we develop algorithms to search subharmonics and we deal with control of singular points. Chapter 5 is concerned with the computation of domains of attractions for non-transient states. Chapters 6 and 7 are devoted to the continuation of paths of invariant torus that emanate from a torus bifurcation. The algorithm is original and consists in following invariant circles using local charts that we adapt at each step. This program has been used to compute quasi periodic solutions for an electric line model using Poincaré mapping. We can think about further and numerous developments.