Déconvolution aveugle

par Elisabeth Gassiat

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Didier Dacunha-Castelle.

Soutenue en 1989

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .

mots clés

• Déconvolution
• Moments infinis
• Robustesse
• Système non-causal
• Champs linéaires
• Minimun de contraste
• Estimation semi-paramétrique
• Variables aléatoires
• Estimation, Théorie de l'
• Commande robuste

Résumé

Considérant une série x formée de variables aléatoires indépendamment identiquement distribuées, et le signal Y obtenu lorsque l'on filtre X par un système linéaire s, nous étudions l'estimation de s sur la base des observations y dans le cadre semi-paramétrique suivant : la loi des x est inconnue et non gaussienne, et s possède un inverse de convolution de longueur finie fixée. Aucune hypothèse n'est faite sur la phase du système, c'est à-dire sur la causalité ou non causalité de s. Nous proposons une estimation par maximum d'objectif. L'estimateur ainsi obtenu est consistant et asymptotiquement gaussien, ce résultat restant valable quelle que soit la dimension de l'espace d'indexation des séries considérées. Nous étudions l'efficacité asymptotique de la méthode et, dans le cas causal, nous la comparons aux méthodes usuelles de moindres carrés. Interprétant notre signal sortant comme un champ autorégressif, nous proposons une méthode consistante d'identification de l'ordre du modèle. Nous étudions divers types de robustesse des estimateurs : robustesse à une sous-paramétrisation, robustesse à l'addition d'un bruit sur l'observation. Nous nous intéressons enfin au cas où la loi de x a des moments infinis, et montrons que, pour des objectifs "cumulants standardisés" et sous certaines hypothèses vérifiées en particulier pour les lois dans les domaines d'attraction de lois stables, l'estimateur obtenu reste consistant, et sa vitesse de convergence, dans le cas causal, est meilleur que pour des lois de variance finie.

Titre traduit

Blind deconvolution

Résumé

Considering a signal X which is a process of random variables identically independently distributed, and the signal Y obtained by filtering X through a linear system s, we study the estimation of s from the observation of y in the following semi-parametric situation the law of X is unknown and non Gaussian, and s has an inverse of convolution with finite length. We need no assumption on the phase of the system, i. E. On the causality or non causality of s. We propose an estimation by maximum objective. The estimates are consistent and asymptotically Gaussian this result is still available what-ever the dimension of the index space of the series is. We study the asymptotic efficiency of the estimate and, in the causal case, we compare it to the usual minimum square estimates. The output y being an autoregressive field, we propose a consis- tent method of identification of the order of the model. We study different types of robustness robustness to underparametrization, robustness to additive noise on the observations. We also inves tigate the case where the law of X has infinite moments, and we show that, for "standardized cumulants" as objectives, and under assumptions which are in particular verified for laws in the attraction demains of stable laws, the obtained estimates are still consistent, and the speed of convergence is, in the causal case, better than for laws with finite variance.