Sur les p-extensions des corps p-rationnels
par Abbas Movahhedi
Thèse de doctorat en Mathématiques
Sous la direction de Yvette Amice.
Soutenue en 1988
à Paris 7 .
mots clés-
Résumé
Soient k un corps de nombres, p un nombre premier, s::(p) l'ensemble des places de k divisant p, et s un ensemble fini de places de k contenant s::(p). On note k::(s) la pro-p-extension s-ramifiee (i. E. Non-ramifiee en dehors de s) maximale de k, et g::(s)=g::(s)(k) le groupe de galois g(k::(s)/k). Les proprietes arithmetiques de k vis-a-vis du nombre premier p se refletent dans la structure du groupe g::(s), mais celle-ci est loin d'etre elucidee. D'apres la theorie du corps de classes global, on sait que l'abelianise g::(s)**(ab) de g::(s) est un z::(p)-module de type fini, donc se decompose sous la forme g::(s)**(ab)#z::(p)**(p) cercle+t::(s), ou p est le z::(p)-rang et t::(s) est le z::(p)-torsion. La valeur exacte de p est liee a la conjecture de leopoldt sur la non-nullite du regulateur p-adique. L'etude du module de torsion t::(s) est l'un des themes essentiels de la theorie d'iwasawa (z::(p)-extensions fonctions l p-adiques quand k et totalement reel,. . . ). Le but de ce travail est de decrire la pro-p-groupe g::(s)(k) sous les hypotheses simplificatrices suivantes k verifie la conjecture de leopoldt en p, et t::(s::(p)) est trivial. Un tel corps k sera appele p-rationnel, car pour la s-ramification, il "se comporte comme" le corps q des nombres rationnels. Comme consequence de la structure de g::(s) nous obtiendrons une infinite de corps non abeliens sur q satisfaisant a la conjecture de leopoldt en p
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Titre traduit
On the p-extensions of p-rational fields
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