Synthèse de Fourier multivariables à maximum d'entropie : application à la reconstruction tomographique d'images

Maximum entropy multimensional fourier synthesis with application to tomographic image reconstruction

• Auteur / Autrice : Ali Asghar Mohammad Djafari
• Direction : Bernard Picinbono
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences physiques
• Date : Soutenance en 1987
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)
• Jury : Président / Présidente : Bernard Picinbono
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bernard Picinbono, Philippe Garderet, Guy Demoment, Jean-Louis Lacoume, Jorge L. C. Sanz, Yvon Biraud

Mots clés

Mots clés contrôlés

Problèmes inverses

Tomographie

Mots clés libres

Reconstruction d'image

Synthèse de Fourier

Maximum d'entropie

Signaux multivariables

Résumé

Le problème traité est celui de la synthèse de Fourier multivariables, c'est à dire la détermination d'une fonction f(x:) à partir d'une connaissance partielle de sa transformée de Fourier (TF). Les particularités du problème sont les suivantes: i) la fonction est positive et à support limité, ii) les échantillons de sa TF, que l'on dispose se trouvent sur des contours algébriques définis à partir des hypothèses physiques et de la géométrie des mesures des applications concernées. L'intérêt de ce problème se justifie dans ses nombreuses applications telles que: tomographie à rayon X ou à ondes diffractées, en imagerie RMN, etc. , où la mesure d'une grandeur sur des lignes droites (projections) nous renseigne, soit directement, soit indirectement, sur la TF spatiale d'une fonction à deux variables d'espace caractérisant l'objet. Il s'agit là d'un problème inverse mal-posé; celui de la résolution d'une équation intégrale de première espèce dans laquelle le noyau de l'intégrale est une fonction exponentielle complexe. Pour le résoudre, il faut étudier non seulement les conditions d'existence et d'unicité de la solution, Bis aussi sa stabilité vis-à-vis des erreurs sur les données. Une analyse des méthodes de reconstruction existantes nous montre que celles-ci négligent en général soit l'unicité, soit la stabilité de la solution. Notre approche consiste à utiliser le fait que la solution est positive, ce qui a été négligé dails les méthodes existantes. L'usage de l'entropie nous a semblé donc être une façon appropriée pour arriver à cette fin. Une étude des différentes approches du principe du Maximum d'Entropie (ME) est faite, et, finalement, une nouvelle méthode est proposée. L'utilisation de l'entropie a soulevé un certain nombre de difficultés, comme le choix entre les différences définitions de l'entropie d'une image ainsi que la définition de l'entropie d'une image représentant une grandeur complexe; pour lesquelles nous avons apporté quelques éléments de réponse. L'algorithme consiste alors à minimiser un critère composé de deux termes : un terme de résidu qui mesure la fidélité aux données, et un terme d'entropie qui joue le rôle d'une fonctionnelle de régularisation. La minimisation est faite par une technique du gradient conjugué. Un certain nombre de simulations sont présentées afin de comparer les performances de la méthode à celles des méthodes classiques pour des applications en tomographie.