Applications de la théoreie des valeurs extrêmes en probabilité et en statistique

par Michel Broniatowski

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques

Sous la direction de Paul Deheuvels.

Soutenue en 1987

à Paris 6 .

mots clés

Résumé

Le chapitre 1 utilise les proprietes de la transformee de laplace et les theoreme tauberien de karamata pour caracteriser les relations entre la theorie des valeurs extremes pour des suites de v. A. Reelles independantes et le comportement limite de leurs sommes partielles, lorsques celles-ci sont dans le domaine d'attraction d'une loi stables d'indice entre 0 et 1. Les vitesses de convergence uniforme de la suite des maxima partiels vers la loi limite sont obtenues par cette methode. Le chapitre 2 etudie les deviations de la moyenne empirique s(n)/n ou s(n) = x(1) +. . . +x(n), et les x(i) sont issus d'une suite de v. A. Reelles independantes. On obtient des equivalents pour les pr(s(n)/n a(n)) ou a(n) tend vers ess sup x(1), vers e(x(1)) ou est constant. La methode d'etude est neuve et est reliee a l'etude de theoremes tauberiens nouveaux pour la fonction generatrice des moments. On applique ces resultats a l'etude des maxima des sommes partielles (problemes d'erdoes-renyi) pour des tailles faibles des blocs mobiles; on met en evidence le seuil ou s'efface la theorie des valeurs extremes et ou le comportement p. S. De la statistique d'erdoes-renyi est analogue (qualitativement) a celui des extremes d'une suite de v. A. Normales. Le chapitre 3 traite de la convergence dans l1 de la famille des estimateurs non parametriques de la densite obtenus par validation croisee. On y demontre, sous des conditions de regularite faible, que cette suite de densite converge presque surement dans l1 si et seulement si les extremes de l'echantillon sont stables presque surement; ce resultat explique pourquoi cette methode ne peut etre utilisee que pour l'estimation de densites decroissant tres vite a l'infini (plus vite que la densite exponentielle). Le chapitre 4 traite des conditions d'ergodicite du processeus autoregressif general x(n+1) = t(x(n) + e(n+1)) ou e(i) est une suite de v. A. Reelles independantes, et t est une fonction quelconque. Les proprietes de la loi stationnaires sont reliees a celles de (e(i)) en particulier aux extremes de (e(i)). La methode utilisee (th. De schauder) permet de traiter des cas non classiques. Cette partie a ete faite avec jean diebolt

Titre traduit

Application of the extreme value theory in probability and statistics

Pas de résumé disponible.