Problemes quasilineaires elliptiques

Quasilinear elliptic problems

• Auteur / Autrice : Satyanad Kichenassamy
• Direction : Haïm Brézis
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1987
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Ce travail presente essentiellement trois resultats relatifs aux operateurs quasilineaires : a) un theoreme d'existence et d'unicite pour des problemes ayant pour donnee une somme de masses de dirac. La solution est caracterisee par son comportement au voisinage des singularites; elle est unique parmi les fonctions dominees pres de chaque singularite par une fonction radiale adaptee. La demonstration utilise un theoreme de regularite (voir b)) et une technique de symetrisation sur les varietes sans bord basee sur une definition du perimetre d'une partie d'une variete riemannienne. Cette notion generalise le perimetre de de giorgi et est dans certains cas plus commode que la mesure de hausdorff. B) un resultat de regularite interieure des solutions de systemes de hodge-de rham non lineaires. Le gradient de la solution d'une equation quasilineaire verifie un tel systeme. Nous obtenons donc la regularite de la solution du a) en dehors des singularites. Le resultat s'applique en outre a des non-linearites logarithmiques rencontrees en physique. Il est complete par une technique de dualite, qui donne tres simplement la regularite des fonctions p-harmoniques pour tout p superieur a un. C) une minoration du nombre de solutions d'un probleme quasilineaire elliptique comportant un terme non-lineaire oscillant, sur un ouvert borne. Si l'ouvert est assez grand, on obtient une solution pour chaque oscillation satisfaisant une "condition d'aire". De nouvelles solutions sont obtenues par un argument de degre de browder, qui remplace une variante du "lemme du col" due a rabinowitz. Dans le cas de la symetrie spherique, on obtient des resultats analogues sans hypothese de croissance sur le terme principal, dans des cas ou la methode variationnelle achoppe