Analyse varationnelle des formes quadratiques convexes

Variational analysis of couven quadratic forms

• Auteur / Autrice : Marie-Laurence Mazure
• Direction : Jean-Baptiste Hiriart-Urruty
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1986
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de Hilbert

Mots clés libres

Sciences et techniques communes

Mathématiques

Calcul variationnel

Variational calculus

Résumé

Ce travail a pour motivation le principe variationnel de maxwell: lorsque deux réseaux électriques sont disposés en parallèle, la distribution du courant, soumise à la loi de Kirchhoff, se fait de façon a minimiser la puissance totale dissipée. Ce principe se présente donc comme une manifestation de l'inf-convolution des fonctions puissances associées aux deux réseaux. Si les résistances généralisées de ces réseaux sont les matrices symétriques semi-définies positives a et b, cette constation conduit au fait que la résistance généralisée équivalente, appelée somme parallèle de a et b, est la matrice associée a la forme quadratique convexe résultant de l'inf-convolution des formes quadratiques convexes associées à a et b. Cette définition variationnelle de l'addition parallèle permet d'utiliser, d'une manière systématique, les techniques de l'analyse convexe pour en développer les propriétés de manière élégante. Toujours à partir de formulations variationnelles, il est également possible d'interpréter en termes d'analyse convexe d'une part la notion électrique de court-circuit, et d'autre part celle de différence parallèle de deux operateurs symétriques semi-définis positifs. Cette dernière opération est définie a partir d'une notion nouvelle en analyse convexe: la déconvolution d'une fonction convexe par une autre, opération qui, grâce a un résultat récent sur la conjuguée de la différence de deux fonctions, peut être, dans une certaine mesure, considérée comme l'opération inverse de l'inf-convolution. Les résultats concernant l'addition parallèle, l'opération de court-circuit et la différence parallèle sont d'abord énoncés en dimension finie puis prolonges au cadre hilbertien. L’extension possible des diverses opérations étudiées aux sous-espaces hilbertiens d'un espace vectoriel topologique est suggérée en annexe.