Sur le groupe des classes et le groupe local des classes d'un anneau intégre
par Alain Ryckaert
Thèse de doctorat en Sciences. Algèbre
Sous la direction de Alain Bouvier.
Soutenue en 1986
à Lyon 1 .
Le jury était composé de Alain Bouvier.
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Résumé
Cette these est divisee en deux chapitres. Le premier se place dans le cadre classique des anneaux de krull. On calcule le groupe des classes de l'algebre affine d'un "hyperplan" a coefficients dans un anneau normal et celui de l'algebre affine r d'une forme quadratique a coefficients dans un anneau principal a. Lorsque 2 est inversible dans a, on etablit une condition necessaire et suffisante de factorialite de r et quand 2 n'est pas inversible, on montre que le groupe des classes de r depend essentiellement de la decomposition de 2 dans a. Dans le paragraphe 3, on precise les liens existants entre le groupe des classes de a et les proprietes des sur-anneaux de a. Enfin, dans le paragraphe 4, on utilise la methode de la descente galoisienne due a p. Samuel, afin de construire des exemples d'anneaux factoriels soumis a certaines conditions. Dans le deuxieme chapitre, on etudie la notion generale de groupe des classes d'un anneau integre. Celle-ci redonne, dans le cas des anneaux de krull, les notions deja connues et mesurem dans la classe des anneaux pseudo-prueferiens le "defaut d'existence" des pgcd. Elle amorce ainsi l'etude et une classification d'anneaux plus "pathologiques" c'est-a-dire ni de krull ni noetheriens. Au paragraphe 2 sont etudies plus precisement les anneaux du type "d+m" generalises. Dans le paragraphe suivant on etablit un "theoreme des 9" permettant de calculer leur groupe des classes et leur groupe local des classes ce qui redonne certains resultats connus, permet la construction de nombreux exemples et contre-exemples et ainsi d'apporter la reponse a des questions recentes
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Titre traduit
On the class group and the local class group of an integral domain
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