Études et comparaisons de critères de plans d'expériences optimaux pour l'estimation des paramètres d'un modèle de régression non linéaire

par Jean-Pierre Vila

Thèse de doctorat en Mathématiques. Statistique

Sous la direction de Directeur de thèse inconnu.

Soutenue en 1985

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .

Le président du jury était Didier Dacunha-Castelle.

Le jury était composé de Didier Dacunha-Castelle, Jean Coursol, Emmanuel Jolivet, Richard Tomassone.

Les rapporteurs étaient Jean Coursol.

mots clés

• Régions de confiance
• D-optimalité
• X-optimalité
• Analyse de régression
• Théories non linéaires

Résumé

Pour une région de confiance d’un type donnée pour les p paramètres d’un modèle de régression non linéaire, on définit un critère de plan d’expériences optimal, par minimisation de l’expérience du volume de la région par rapport au plan d’expériences, dans un certain domaine d’action. Sous l’hypothèse d’erreurs d’observations gaussiennes et indépendantes, on considère une région de confiance exacte particulière, permettant la définition d’un nouveau critère de plan d’expériences que nous appelons X-optimalité. On oppose ce nouveau critère au critère classique de D-optimalité, critère approximatif car reposant sur une linéarisation du modèle. Pour chacun de ces deux critères séparément, une condition suffisante et une condition nécessaire, très voisines, sont établies pour l’optimalité (locale au moins) du plan de dimension n formé des r₁, r₂, …, rp répétitions des p points du plan optimal de dimension p avec n = Epi=1ri. Des simulations comparatives montrent que tant du point de vue de l’efficacité que de la robustesse, les plans X-optimaux sont d’autant supérieurs aux plans D-optimaux de même taille – que la non linéarité du modèle, quantifiée par diverses mesures est plus forte, - que la domaine de définition des paramètres est plus grand que l’ellipsoïde de confiance à priori calculé pour le plan D-optimal.

Résumé

For a specific confidence region for the p parameters of a nonlinear regression model, one can define an optimal design criterion as the minimization of the expected volume of the region with respect to the experimental design in some experimental domain. When the observation errors are independently normally distributed, an exact confidence region is considered in order to define a new optimal design criterion called X-optimality. This new criterion is compared to the classic but approximative D-optimality criterion based on a model linearization. For both of these criteria independently a sufficient condition and a necessary condition, very close to each other, are developed for the optimality of the design of size n made of r₁, r₂, …, rp replications of the p points of the optimal design of size p with n = Epi=1ri. Simulations show that as far as efficiency and robustness are compared the X-optimal designs are better than the D-optimal ones more especially as – the model non linearity (quantified by several measures) is important. – the parametric domain is greater than the a priori confidence ellipsoid computed for the D-optimal design of same size.