Caténarité et anneaux de séries formelles

par Georges Nachar

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques pures

Sous la direction de Maurice Flamant.

Soutenue en 1985

à Lyon 1 .

Le jury était composé de Maurice Flamant.

mots clés

• Anneau. Ring
• Séries (mathématiques)
• Anneaux commutatifs

Résumé

Soient r un anneau commutatif de dimension de krull finie et k son corps des fractions. On note r(x) (resp. R((x))) l'anneau des polynomes (resp. Des series formelles) en x sur r. J. T. Arnold (1) a montre que si r n'est pas un sft-anneau alors dim r((x))=infini. De plus, si d est un sft-anneau prueferien, dim d((x::(1),. . . ,x::(n)))=n dim d+1. D'autre part, pour un anneau noetherien d, dim d((x::(1),. . . ,x::(n)))= dim d+n. S. Doering et y. Lequain ont montre que les proprietes suivantes sont equivalentes : a) d(x::(1),. . . ,x::(n)) est catenaire; b) d((x::(1),. . . ,x::(n))) est catenaire; c) pour tout ideal premier p de d, d::(p)((x::(1),. . . ,xn)) est catenaire. On tente, dans ce travail, d'etendre cette propriete au cas d'un sft-anneau prueferien. Pour un ideal premier p d'un anneau de valuation discrete v. De dimension finie (son groupe des ordres est isomorphe a z**(m)), on met en evidence une famille denombrable d'elements de v engendrant p. De plus on montre que pour un anneau de valuation v, dim v >ou= 2, les deux proprietes suivantes sont equivalentes : 1) v(1x::(1),. . . ,x::(n))) est un anneau catenaire; 2) v est un anneau de valuation discrete (sft-anneau de valuation) et n=1. On etend ce resultat au cas des sft-anneaux prueferiens. On acheve ce travail en donnant un exemple de sft-anneau integre t de la forme t=d+m qui n'est ni noetherien ni prueferien et qui verifie les proprietes suivantes : dim t((x))=dim t+1; 2) t((x)) est un anneau catenaire

Titre traduit

Catenarian property and power series rings

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