Thèse soutenue

Formalisme de plongement d'ordre élevé, théorème de Noether sur time-scales et l'élasticité non locale d’Eringen
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Auteur / Autrice : Khader Hariz Belgacem
Direction : Jacky CressonEmmanuelle Rouhaud
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 08/07/2022
Etablissement(s) : Pau en cotutelle avec Ecole normale supérieure de Kouba (Alger)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences exactes et leurs applications (Pau, Pyrénées Atlantiques ; 1995-)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications de Pau - Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications [Pau]
Jury : Président / Présidente : Aziz Hamdouni
Examinateurs / Examinatrices : Noël Challamel
Rapporteurs / Rapporteuses : Delfim Torres, Martin Bohner

Résumé

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En mathématiques, le calcul des variations est un ensemble de méthodes permettant la détermination de solutions à des problèmes d'optimisation des quantités traduites en termes de fonctionnelle. De nombreuses applications existent, notamment dans la recherche de courbes ou de surfaces minimales. Les systèmes dynamiques considérés sont de natures diverses (équations différentielles, intégrales ou stochastiques) et modélisent des problèmes d'origines multiples : aérospatiale, automobile, biologie, économie, médecine, etc. Le théorème de Noether présente un fort intérêt puisqu'il propose une loi de conservation explicite (traduisant souvent une quantité physique comme l'énergie totale ou le moment angulaire en mécanique classique) qui permet de réduire ou d'intégrer l'équation différentielle associée par quadrature. L'objectif de ma thèse contient de nombreux thèmes, dans le premier but nous allons : *) donner le théorème de Noether discret dans le cadre ”time scale” (Le formalisme lagrangien et hamiltonien). Le passage de la nature discrète à la nature continue de la structure la morphologie est d'un intérêt primordial en physique pour comprendre comment la microstructure peut influencer les propriétés macroscopiques du matériau à plus grande échelle. Ce passage peut être modélisé par un système discret appelé 'Hencky's chain' et l'équation du mouvement est donnée par des équations aux différences non linéaires et cette équation ne possède pas de Lagrangien. Le deuxième but nous allons : *) donner les structures lagrangienne, hamiltonienne via le facteur intégrant et trouver la solution analytique de l'équation non locale au sens d'Eringen (nonlocalité différentielle d'Eringen, 1983). Le troisième but nous allons : *) étudier l'existence des formulations variationnelles via le principe de Brezis Ekeland-Nayroles (Gery de Saxce) - application sur la formulation 4D développée par E. Rouhaud pour l'étude des déformations des matériaux *) développer des schémas numériques qui respectent certaines particularités. En particulier, un schéma permettent de mettre en œuvre la théorie 4D développée par E. Rouhaud. *) applications numériques et théoriques sur le problème des déformations des matériaux.