ANALYSE MULTIFRACTALE DES SERIES DE DAVENPORT

par Mohammed abderraouf Matri

Projet de thèse en Mathématiques

Sous la direction de Stéphane Jaffard.

Thèses en préparation à Paris Est en cotutelle avec l'UPEC , dans le cadre de MSTIC : Mathématiques et Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication , en partenariat avec LAMA -- Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (laboratoire) et de Analyse harmonique et multifractale (equipe de recherche) depuis le 13-10-2012 .


  • Résumé

    Soit [x] la partie entière de x; on note {x} la fonction en dents de scie recentrée définie par {x} = x − [x] − 1/2 si x n'appartient pas à Z 0 sinon. Les séries de Davenport sont de la forme somme(an{n · x}), où n et x sont dans Z^d. Les premiers exemples de telles fonctions remontent à l'article fondateur de Riemann sur l'int´egrale qui porte son nom. Sous leur forme la plus générale, elle sont introduite par H. Davenport en 1940; celui-ci étudie leur convergence ponctuelle quand (an) est dans l^1; ce problème étant motivé par des questions de théorie analytique des nombres. Depuis le début des années 90 leur étude s'est fortement développé, et elles se trouvent aujourd'hui à un carrefour particulièrement actif entre • la théorie analytique des nombres, • la théorie géométrique de la mesure • l'analyse harmonique. Cependant, de nombreux problèmes restent encore non élucid´es, cette thèse portera sur les points suivants: -Etude de séries particulières: quand an = n^(−a) l'analyse multifractale de ces séries (déterminations des dimension des ensembles de points où la régularité ponctuelle prend une valeur donnée) n'a été effectuée qu'en dimension 1, et pour a > 2. Les autres cas constituent des problèmes ouverts. -D'une manière générale, le lien entre les propriétés arithmétiques du point x considéré et les propriétés de convergence en x ou de régularité ponctuelle de la somme ne sont encore compris que dans des cas très particuliers, même en une seule variable. - Il serait intéressant d'établir des résultats génériques de convergence ou de multifractalité quand la suite des coefficients (an) est générique (au sens de Baire ou de la prévalence) dans un espace fonctionnel. -En plusieurs variables, les seuls résultats de multifractalité concernent les séries dont l'ensemble des “fréquences” {n : an est différent de 0} est lacunaire au sens de Hadamard. Il serait important de savoir traiter des exemples qui sortent de ce cadre. -Toujours en plusieurs dimension, les discontinuité le long d'hyperplans font que l'on s'attend à des propriétés d'anisotropie et notamment, aux points de continuité de la somme, à ce que celle-ci vérifie des propriétés de régularité Hölderienne ponctuelle anisotrope. Ce terrain est aujourd'hui totalement vierge de résultats.

  • Titre traduit

    Multifractal analysis of Davenport series


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