Fonctionnelles de cluster d'extrêmes: théorèmes limites et quelques applications

par José Gomez Garcia

Projet de thèse en Mathématiques - EM2C

Sous la direction de Paul Doukhan.

Thèses en préparation à Cergy-Pontoise , dans le cadre de ED EM2P - Economie, Management, Mathématiques et Physique , en partenariat avec Analyse Géometrie Modélisation (laboratoire) depuis le 07-09-2012 .


  • Résumé

    Drees et Rootzén (Annals of Statistics 38 (2010), No. 4, 2145-2186) ont prouvé le théorème central limite fonctionnel (TCLF) pour les fonctionnelles de clusters de valeurs extrêmes, mais un simple modèle ne satisfait pas aux hypothèses de ce théorème. De la même manière, quelques résultats sur les extrêmes de champs aléatoires sont donnés par Rootzen and Leadbetter (Stochastic Processes and Related Topics, Part of the series Trends in Mathematics pp 275-285, 1998), mais aussi limités aux conditions de mélange, lesquelles, en général, sont des conditions de dépendance très restrictives. Le but de ce travail est d'inclure des modèles plus généraux de séries temporelles et de champs aléatoires dans le domaine de ces résultats. Pour le TCLF, nous affaiblissons les conditions de dépendance dès β-mélange à τ-dépendance, en utilisant les propriétés de couplage de Dedecker & Prieur (Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Paris Série I 338-10 (2004), 805-808). Par ailleurs, nous étendons les résultats sous t-dépendance à une famille plus générale de processus dépendants, connus comme processus faiblement dépendants dans le sens de Doukhan and S. Louhichi [Stochastic Processes and their Applications 84 (1999) 313-342], mais jusqu'à la convergence des distributions fini-dimensionnelles (fidis), car les arguments de couplage sont très compliqués à trouver sous ces conditions de dépendance. De plus, nous utilisons les mêmes conditions de dépendance pour les champs aléatoires afin de montrer la convergence du maximum de champs aléatoires vers les distributions de type extrémal. Finalement, nous exposons quelques applications. Dans le premier cas, concernant le TCLF, nous montrons la précision de l'estimateur par blocs de l'index extrémal. Dans le second cas, le TCL en fidis, nous montrons la convergence sans les conditions de mélange de l'estimateur de l'extremogram introduit par R. Davis and T. Mikosch [Bernoulli 15 (2009), 977-1009], avec un exemple et quelques simulations de cet estimateur par un processus aléatoire faiblement dépendant et pas-mélangeant, afin de confirmer l'efficacité des résultats. Dans cette application, nous pouvons constater que le TCL en fidis est suffisant pour quelques applications. Aussi, nous estimons l'extremogram spatio-temporel des données de vitesse d'éoliennes.

  • Titre traduit

    Functionals of cluster of extremes: limit theorems and some applications


  • Résumé

    Drees and Rootzén (Annals of Statistics 38 (2010), No. 4, 2145-2186) prove functional central limit theorems (FCLT) for extreme values cluster functionals, but a simple non-mixing model does fit their assumptions. In the same way, results on extremes of random fields are given by Rootzen and Leadbetter (Stochastic Processes and Related Topics, Part of the series Trends in Mathematics pp 275-285, 1998), also limited under mixing conditions which are very restrictives conditions of dependence. The aim of the work is to include more general models of time series and random fields for those results. For the FCLT, we relax the dependence conditions from β−mixing to τ−dependence, by using coupling properties in Dedecker & Prieur (Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Paris Serie I 338-10 (2004), 805-808). On the other hand, we expand the results under t-dependence to a more general dependent processes family, known as weakly dependent processes in the sense of Doukhan and S. Louhichi [Stochastic Processes and their Applications 84 (1999) 313-342], but in finite-dimensional distributions (fidis) convergence, because coupling arguments are very complicated under these conditions of dependence. Besides, we use the same dependence conditions but for random fields to prove the maximum convergence of random fields to distributions of extremal type. Finally, we give some applications. In the first case, the FCLT, we prove the accuracy of the blocks estimator of the extremal index. In the second case, the CLT in fidis, we show the convergence without mixing conditions of the extremogram estimator introduced by R. Davis and T. Mikosch [Bernoulli 15 (2009), 977-1009], including a small example with simulation of the extremogram of a weakly dependent random process but non mixing, to confirm the efficacy of our result. In this application we can see that the central limit theorem (CLT) in fidis is sufficient in some cases. Moreover, we estimate the space-time extremogram of extreme wind speeds data.