Modélisation de la dépendance et analyse du risque de provisionnement en assurance vie & non vie dans le cadre de 'solvency II'

par Inem Akkari

Projet de thèse en Science de gestion

Sous la direction de Mondher Bellalah et de Mohamed CHOURI.

Thèses en préparation à Cergy Pontoise en cotutelle avec l'IHEC SOUSSE , dans le cadre de ED EM2C - Economie, Mathématiques et Management de Cergy , en partenariat avec Théorie économique, modélisation et applications (laboratoire) depuis le 09-11-2012 .


  • Résumé

    1) Contexte général de recherche et Motivation L'assurance et la réassurance revêtent une vitalité sociale et économique du fait que les assureurs n'offrent pas uniquement une protection contre beaucoup d'aléas (accidents, vols, maladies, etc.) pouvant entraîner des pertes mais ils acheminent aussi l'épargne des ménages vers les marchés financiers et l'économie réelle. Il est donc légitime qu'assureurs et réassureurs doivent être solvables pour être en mesure de tenir leurs promesses aux preneurs. Comment assurer la solvabilité d'une compagnie d'assurance? C'est la question primordiale et centrale de tout actuaire ayant pour fin de garantir la pérennité de la compagnie. Une compagnie d'assurance se doit d'être solvable, c'est-à-dire de respecter ses engagements pris envers les assurés et les bénéficiaires de contrats, par le respect de ses obligations financières et, notamment, de disposer d'un « tampon financier » suffisant pour couvrir les risques et les pertes imprévus sans mettre en péril la santé financière de la compagnie. L'importance des montants en jeu a mené l'Union Européenne à constituer des normes prudentielles permettant le contrôle de la solvabilité des compagnies d'assurance. À cette fin, la Commission Européenne a mis en place une réforme réglementaire, dite « Solvabilité I », dont l'objectif est de garantir la solvabilité de l'assureur et par la suite la protection des assurés. Cette directive portait essentiellement sur des modalités de calculs de la marge de solvabilité ainsi que les éléments éligibles du capital. Mais, vu la mondialisation des groupes d'assurance, ainsi que l'évolution des techniques financières à savoir la couverture et la titrisation, l'apparition des risques extrêmes (terrorisme, catastrophe naturelle) et des crises financières de dernières années, la faible sensibilité au profil de risque spécifique à chaque compagnie d'assurance et la prise en compte limitée de la réassurance et des effets de diversification, tous ceci laisse la directive prudentielle actuelle Solvabilité I inadaptée à un environnement en constante évolution et souffre de plusieurs désagréments qui ont entraîné des critiques à son égard. Donc, il s'avère nécessaire de réviser la réglementation de l'industrie de l'assurance via un nouveau régime de solvabilité appelé «Solvabilité II», qui reflète dans leur intégralité les derniers développements survenus dans les domaines du contrôle prudentiel, de la gestion des risques, et rende possible à l'avenir les actualisations. Solvabilité II a introduit une large évolution dans la détermination des provisions techniques et notamment les provisions pour sinistres à payer (PSAP). En effet, la nécessité de déterminer une « valeur de marché » des provisions va requérir des changements radicaux dans la démarche de provisionnement, par le passage d'un monde déterministe, ou aucune démarche ou méthode n'est requise pour déterminer les montants des provisions à un monde prospectif, probabiliste où stochastique devient le maître-mot. Le risque de provisionnement émane de deux sources : d'une part, le niveau absolu des provisions pour sinistres peut être mésestimé. D'autre part, en raison du caractère aléatoire des futurs règlements de sinistres. Cette dimension stochastique, permettant de définir la volatilité des provisions, va intervenir au niveau de la valorisation des provisions techniques par l'introduction de la 'Risk Margin' en complément au 'Best Estimate', qui va permettre d'établir un substitut à la valeur de marché des provisions. La détermination de cette marge de solvabilité par l'introduction du risque de provisionnement figurant dans le risque de souscription est une des composantes principales du SCR (Solvency Capital Requirement). Le calcul des provisions s'effectue généralement par branche d'activités (Automobile, Dommages aux Biens, Responsabilité Civile Générale, …). Par commodité, on suppose que ces branches et les risques y sont relatifs, sont considérés comme indépendants. Néanmoins des nombreux exemples peuvent laisser penser que ce n'est pas le cas en pratique. Au cours des dernières années, des sinistres extrêmes sont engendrés non seulement sur le plan domestique mais aussi sur le plan international. Sur le plan domestique, les Tempêtes de Lothar et Martin en décembre 1999 ainsi que le sinistre industriel AZF de Toulouse en septembre 2001 ont entrainé des pertes incontestables. Joignant sur le plan international, le sinistre du World Trade Center en septembre 2001, qui a montré qu'un nombre élevé de garanties et de branches pouvaient être mises en jeu par la survenance d'un même événement, et les sinistres financiers d'Enron et de Worldcom (2001), qui ont conduit à des lourds dégâts matériels accrus et aggravés en touchant des garanties et des cautions souscrites par ces deux. Sans omettre la baisse vertigineuse des marchés d'actions et la crise des Subprimes en 2007-2009 qui a énormément affecté les assureurs Américains et surtout l'American International Group « AIG », premier assureur du monde. De même certaines sociétés importantes de réassurance tels que Suisse-Ré, Munisch-Ré, Hannover-Ré, sont touchés mais, à des degrés moindres. L'avènement des ces risques remettent en cause l'ensemble des fondements techniques et financiers de l'assurance et dévoilent absolument que lorsque des catastrophes surviennent, plusieurs garanties sont touchées en même temps : les risques ne sont pas indépendants. En fait, ils sont« corrélés » ou stochastiquement dépendants dans une terminologie plus rigoureuse. Une fois cette constatation est prouvée, il convient de proposer des modèles permettant de prendre en compte cette dépendance entre les risques. Parmi ces modèles incontestables, figure la théorie des copules. Les copules sont devenues un outil de base dans la modélisation des distributions multivariées en finance et en assurance. Introduit par Abe Sklar en 1959, comme solution d'un problème de probabilité énoncé par Maurice Fréchet, développé par Paul Deheuvels (fin des années 70) et Kimeldorf et Sampson (1975), l'étude méthodique des copules débute dans les années 1980, avec les travaux de Christian Genest et ses coauteurs. En présence d'une littérature assez riche on peut encore énoncer les travaux de Dhaene et Goovaerts (1996), Dhaene et Denuit (1999), Frees et Valedez (1998), Joe (1997), Schönbucher et Schubert (2001), Embrechts, McNeil & Straumann (2002), Juri et Wüthrich (2002,2003), Charpentier et Denuit (2004), parmi tant d'autres. Dès lors, on peut se demander quel est l'impact de cette dépendance entre branches sur le niveau des provisions techniques et le niveau du capital économique et si elle est la cause de la sous-tarification ou de provisions insuffisantes pour couvrir la charge de sinistre afférent à une année de survenance. Comme les compagnies d'assurance opèrent dans ce nouveau contexte, alors, elles sont désormais fortement mobilisées à améliorer leurs modèles internes relatifs à ses exigences en matière des fonds propres et à mettre en place un réel pilotage des risques, notamment avec l'introduction de dépendance des risques assurés. Il serait intéressant d'étudier et de mettre au point des nouvelles techniques de dépendances. En pratique l'utilisation des copules en assurance non-vie est limitée par la capacité à estimer les paramètres. Ceci nous laisse penser aux copules dynamiques qui seraient de même très délicates à estimer. En revanche, l'utilisation des modèles conditionnels de type fragilité est très préconisée dans le contexte de l'assurance et surtout pour la dépendance des extrêmes. 2) Objectif et Plan de recherche : Donc, toute la question est de savoir : Comment modéliser le risque de provisionnement en présence d'une telle dépendance entre les branches d'activités en assurance? En d'autre terme : • Quelles sont les méthodes actuarielles à prendre pour modéliser le risque de provisionnement d'un portefeuille d'assurance? • En respectant les exigences réglementaires du référentiel « Solvabilité II », comment évaluer le Solvency Capital Requirement? • Comment peut-on évaluer ce risque en présence de dépendance entre les lignes d'affaires? • Et quels impacts auraient cette dépendance des risques assurés sur le niveau des provisions techniques et le niveau du capital économique? A cette fin, ce travail proposera donc : D'introduire, dans une première partie, le concept de risque de provisionnement et de le situer dans son futur environnement réglementaire et prudentiel. Cet environnement, caractérisé par la réforme Solvabilité II. Introduire le concept de risque de provisionnement en assurance vie ou non vie, ainsi que, les principaux modèles d'évaluation de provisions à savoir : Chain-Ladder qui est une méthode déterministe, le modèle de Mack qui correspond à l'extension du modèle Chain-Ladder en stochastique et les modélisations GLM. En effet, après avoir développé des méthodes déterministes de calcul de ces provisions, au premier rang desquelles la méthode Chain ladder, les assureurs ont voulu étendre leur conception sur le risque encouru. Formellement, ces méthodes déterministes ne procurent que le 1er moment non centré c.à.d. l'espérance mathématique de la distribution sous-jacente du risque. Ainsi, différentes méthodes de calcul stochastiques sont développées comme le modèle de Mack, les modèles GLM, afin de déterminer le moment d'ordre 2 et donc la mesure de dispersion de cette distribution sous-jacente. Une fois déterminée l'espérance et la variance, il est en suite envisageable de décrire certaines techniques de simulation comme l'approche bootstrap pour déterminer une distribution complète des provisions. La deuxième partie introduit la modélisation de « dépendance» entre plusieurs facteurs de risque, mises en évidence lors de survenance des événements imprévus. Après avoir présenté les limites du coefficient de corrélation de Pearson, on fera appel à la théorie de copule qui permet de séparer les lois marginales et la structure de dépendance entre les branches d'activité. Cette approche se manifeste très opérationnelle et efficace pour des champs d'application complexes en finance et notamment en assurance. Contrairement à d'autres approches qui s'avèrent très complexe en raison des multiples calculs, à savoir l'approche bootstrap et le modèle à choc commun qui consiste en la donnée directe d'une loi jointe, c'est-à-dire, que les lois marginales de différentes branches sont du même « type ». Une fois présentée la notion de copule, il est en suite faisable de retracer certaines mesures de risques comme la Value at Risk en cherchant d'autres mesures , et donc possible de déterminer la probabilité d'avoir des provisions suffisantes pour couvrir le coût des sinistres. De manière plus générale, et avec des informations et des hypothèses sur les modèles standard et interne de solvabilité, il devient alors faisable de déterminer le besoin en fonds propres (SCR). Enfin, après une revue de littérature relative au risque de provisionnement via quelques méthodes de calcul des provisions existantes et des modèles de prise en compte de la dépendance par le biais des copules, nous cherchons un portefeuille sur lequel on peut envisager notre modélisation. Pour cela, nous consacrerons la troisième partie à une étude empirique ou nous tentons de présenter une application, fondée sur une partie du portefeuille d'une compagnie d'assurance, par laquelle nous pratiquerons une analyse comparée, à partir du même jeu de données, de ces différents modèles notamment en terme de variabilité du montant des provisions et du capital de solvabilité requis, surtout en cas de dépendance. Ainsi, après avoir présenté dans un premier chapitre le portefeuille étudié nous allons procéder, dans un deuxième chapitre, à l'évaluation du risque de provisionnement sur l'horizon ultime du développement des paiements. Compte tenu de la structure de dépendance, via la théorie de copule, entre les branches d'activité étudiées, nous allons proposer, après, les différentes techniques de choix de la meilleure copule. Pour finir, où nous exposons deux approches de mesure de capital de solvabilité requis lié au risque de provisionnement à un an dans le cadre du modèle interne du projet Solvabilité II, tout en comparant ce montant du capital avec celui obtenu par la formule standard. Enfin, et compte tenu des résultats acquis et des analyses accomplies,==> améliorer la pratique actuelle de mesure de risque de provisionnement à un an, dans les compagnies d'assurance, tout en tenant compte d'une éventuelle dépendance entre les lignes d'affaires en assurance vie ou non vie.

  • Titre traduit

    Dependence modeling and reserve risk analysis in life & non-life insurance: Solvency II


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