Some integrable aspects of noncommutative and quantum Painlevé II equations

par Mahmood Irfan

Thèse de doctorat en Mathématiques et leurs interactions

Sous la direction de Vladimir Roubtsov.

Thèses en préparation à Angers , dans le cadre de École doctorale sciences et technologies de l'information et de mathématiques (Nantes) depuis le 13-09-2010 .


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous commençons avec une revue de la dérivation de l’équation de Painlevé II classique et de sa hiérarchie du système de Korteweg-de Vries solitonique et de l’équation de Korteweg-de Vries modifiée. De plus, notre revue contient la construction de l’hiérarchie hamilotinienne de l’équation PII en utilisant la méthode de déformation isomonodromique avec l’interpretation de l’orbite coadjointe. Nous donnons aussi une brève introduction aux équations de painlevé quantiques et à leurs systèmes différentiels correspondants. Le but de cette thèse est de proposer les developpements modernes dans la théorie de l’équation de Painlevé II, particulièrement son analogue non-commutatif qui est récemment présenté par V. Retakh et V. Roubtsov et d’évaluer quelques aspects intégrables de cette équation. Nous expliquons une procédure qui nous permet de construire une connexion à des solutions de l’équation de Painlevé II noncommutative avec les équations Toda non-commutatives sous un certain ansatz. Cette thèse contient aussi la représentation de courbure nulle pour l’équation de Painlevé II non-commutative avec le terme constant nul, ainsi que la dérivation de ses solutions en terme de déterminants de Fredholm. A la fin de la thèse, nous construisons une autre représentation de courbure nulle, la condition de compatibilité des systèmes linéaires dans sa forme générale qui rapporte la version originale présentée de l’équation de Painlevé II non-commutative avec le terme constant non-nul. Nous obtenons aussi avec l’équation de Riccati en partant d’un problème apectral linéaire de l’équation de Painlevé II non-commutative. Finalement, nous construisons une expression explicite pour s-transformations et ses solutions de Darboux de la manière récursive. Nous dérivons aussi des solutions de l’équation de Painlevé II Riccati non-commutative. Nos résultats sur l’équation PII-non commutative contiennent également la dérivation de s analogues de solutions multi-solitoniques de cette équation en prenant les solutions du système de Toda de la forme quasidéterminante de Hankel à n=1 et sa contrepartie négative en tant que solutions initiales pour transformation de Darboux de solutions de Painlevé II non-commutative. En outre, nous construisons les expressions explicites de transformation de Darboux de solutions de Painlevé II non-commutative. En outre, nous construisons les expressions explicites de transformations de Darboux pour φ et ψ qui sont impliqués dans les solutions initiales à l’aide des systèmes linéaires dont la condition de comptabilité impliquées la représentation de courbure nulle des systèmes différentielles non-linéaires associés et généralisons leurs transformations de Darboux d’ordre N. Une représentation de courbure nulle pour l’équation de Painlevé II quantique est proposée et une forme de Ricati est derivée.


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