Sur la complexité de la prédiction des automates cellulaires de majorité et de piles de sable

On the complexity of predicting majority and sandpile cellular automata

• Auteur / Autrice : Pablo Concha-Vega
• Direction : Kévin Perrot, Eric Goles, Pedro Montealegre Barba
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 12/06/2024
• Etablissement(s) : Aix-Marseille en cotutelle avec Université Adolfo Ibáñez
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d’Informatique et Systèmes (Marseille ; La Garde, Var ; 2018-….)
• Jury : Président / Présidente : Gonzalo Ruz
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Kévin Perrot, Eric Goles, Pedro Montealegre Barba, Luca Manzoni, Véronique Terrier, Enrico Formenti, Marco Montalva, Sylvain Sené, Guillaume Teyssier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Luca Manzoni, Véronique Terrier

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algorithmes

Systèmes dynamiques

Automates cellulaires

Mots clés libres

Automates cellulaires de majorité

Modèle de pile de sable

Prédiction

Systèmes dynamiques discrets

Complexité algorithmique

Majority cellular automata

Sandpile models

Prediction

Discrete dynamical systems

Computational complexity

Résumé

Un automate cellulaire est composé d'une grille de cellules, chacune ayant un état (issu d'un ensemble fini) qui évolue selon une règle locale (homogène dans l'espace et le temps).Cette thèse se concentre sur deux classes particulières d'automates cellulaires : les automates cellulaires majoritaires et le modèle de pile de sable. Ces deux classes d'automates cellulaires sont liées par plusieurs aspects théoriques discutés dans ce travail. Notre attention se porte sur un problème de décision connu sous le nom de problème de prédiction, consistant à déterminer si une cellule donnée change d'état au cours de la simulation d'un automate cellulaire. La complexité algorithmique de ce problème offre des indications précieuses sur les algorithmes les plus efficaces pour calculer la dynamique de l'automate. Pour le cas bidimensionnel, la complexité du problème de prédiction demeure une question ouverte tant pour les automates cellulaires majoritaires que pour les piles de sable.La principale contribution de cette thèse réside dans la classification systématique des variations des automates cellulaires majoritaires et du modèle de pile de sable, en fonction de la complexité algorithmique de leurs problèmes de prédiction. Notre première approche implique la fusion de deux règles majoritaires distinctes, stables et biaisées, donnant naissance à ce que nous appelons des automates cellulaires majoritaires hétérogènes. Nous prouvons que, pour les automates cellulaires majoritaires hétérogènes unidimensionnels, le problème de prédiction est dans la classe de complexité NL, mais devient P-complet pour des dimensions supérieures.Ensuite, nous examinons une variante appelée majorité gelée et introduisons le concept de voisinages en forme de L. Notamment, Nous démontrons que, pour le plus petit voisinage en forme de L, le problème de prédiction est dans la classe de complexité NC. En revanche, pour tout voisinage plus grand, le problème de prédiction devient P-Complet.Enfin, nous étudions le problème de prédiction pour les piles de sable pour chaque sous-voisinage du voisinage de Moore. Nous prouvons que 12 d'entre eux ont un problème de prédiction P-complet. Pour les autres, nous prouvons qu'ils ne peuvent pas croiser l'information, si le bit d'information est la présence (ou l'absence) d'une avalanche. Nous introduisons également le concept de problème de prédiction chronométré, une variation du problème de prédiction canonique où un pas de temps précis fait partie de l'entrée. Nos recherches révèlent que le problème de prédiction chronométré est P-complet pour 52 voisinages différents.

A cellular automaton consists of a grid of cells, each of which has a state (from a finite set) that evolves following a local rule (homogeneous in space and time).In this thesis we center our attention on two particular classes of cellular automata: The Majority Cellular Automata and the Sandpile Model. These two classes of cellular automata are related by several theoretical aspects discussed in this work. We focus on a decision problem known in the literature as the prediction problem. This problem consist in determine whether a given cell of a cellular automaton changes it state during it simulation. Depending on the computational complexity of solving this problem, it offers valuable insights into the most efficient algorithms that can be employed for computing the automaton dynamics. For the 2-dimensional case, to determine the complexity of the prediction problem remains an open problem for both the Majority Cellular Automata and Sandpile.The key contribution of this thesis lies in the systematic classification of variations within both the Majority Cellular Automaton and the sandpile model, contingent upon the computational complexity of their prediction problems. Specifically, our first approach involves mixing two majority rules herein referred to as stable and biased, resulting in what we term Heterogeneous Majority Cellular Automata. We prove that for the 1-dimensional Heterogeneous Majority Cellular Automata, the prediction problem is in NL. However it becomes P-complete for greater dimensions.Secondly, we investigate a variant known as the freezing majority and we introduce the concept of L-shaped neighborhoods. Notably, we demonstrate that for the smallest L-shaped neighborhood the prediction problem resides within the complexity class NC. Conversely, for any L-shaped neighborhood of a larger size, the prediction problem becomes P-Complete.Finally, we study the prediction problem for sandpiles for every sub-neighborhood of the Moore neighborhood. We prove that 12 of them have a P-complete prediction problem. For the rest of them, we prove that they cannot cross information, if the bit of information is the presence (or absence) of an avalanche. We go further by introducing the concept of timed prediction problem, a variation of the canonical prediction problem where a precise time step is part of the input. Our research reveals that the timed prediction problem is P-complete for 52 different neighborhoods, suggesting that some neighborhoods may efficiently simulate circuit evaluation only in their transient dynamics.