Quelques formulations du continu mathematique alternatives au continu standard du xix siecle

par Edgar fernando Galvez pena

Projet de thèse en Philosophie (métaphysique, épistémologie, esthétique)

Sous la direction de Jean-Jacques Szczeciniarz.

Thèses en préparation à Paris 7 depuis le 22-04-2010 .


  • Résumé

    Historiquement le continu et la continuité ont été des sujets centraux pour la pensée mathématique occidentale. ces concepts sont tout particulièrement fondamentaux pour les mathématiques contemporaines. depuis le vi siècle a.c, les grecs ont placé ces notions au sommet de leurs réflexions philosophiques. parmi les principaux faits qui expliquent la place prépondérante occupée par ces concepts, nous pouvons citer le vif débat entre les monistes et les pluralistes, les travaux arithmétiques des pythagoriciens et la critique logico-philosophique faite par zénon à travers ses paradoxes sur la conception discrète de l'espace. ces polémiques, encadrées par cette même tradition scientifique, ont permis de faire évoluer de manière significative ces concepts; l'aboutissement étant l'explication proposée par aristote dans sa physique au v siècle a.c. ce dernier, en faisant le constat qu'il n'existait aucune substance proprement déterminée à laquelle l'on puisse attribuer la dénomination de continu, substance considérée comme une unité autonome et indépendante, a établi les conditions d'existence de la propriété de la continuité, définie comme une propriété du matériel, mais également comme partie inhérente de ce que constitue une unité. c'est dans ce dernier sens que la pensée mathématique, et la tradition mathématique qui en découle, a intégré ce concept comme étant une forme mathématique de ce qui est «complet» et «sans interruptions». cette thèse aristotélicienne de la continuité a dominée jusqu'au xix siècle. en effet, à cette époque, la communauté des mathématiciens a entrepris une caractérisation strictement mathématique du continu et de la continuité. des mathématiciens comme cauchy, weierstrass, dedekind et cantor, parmi d'autres, ont grandement participé à l'avancement des travaux dans ce domaine dont le résultat principal a été la création des nombres réels en tant que la «matérialisation» ou «concrétisation» de ce qui est reconnu d'un point de vue mathématique comme une entité formelle, existante par elle même et qui jouit de la propriété d'être complète, c'est-à-dire du continu mathématique. les contributions de dedekind et de cantor ont été déterminantes pour fixer les standards de ce projet, standards guidés par la «rigueur de l'analyse». or, le continu de cantor y dedekind répond à la nécessité historique de faire passer la propriété de la continuité du plan imaginaire à celui d'objet mathématique. en attribuant un statut épistémique à la continuité, il est désormais possible de manipuler et de vérifier ce concept en vertu d'un ensemble de propriétés formelles qui le caractérisent. en tant qu'objet mathématique, le continu ouvre la voie à l'émergence d'autres champs des mathématiques comme la théorie des ensembles et la topologie. cependant, bien que ce concept de continu standard ait offert aux mathématiques une base «stable» et confortable facilitant son développement, nous ne devons pas oublier que ce concept est le fruit d'un raisonnement humain et, en conséquence, sa légitimité logique peut être critiquée et remise en question. par exemple, on peut se demander si la formulation axiomatique est la seule façon, et la plus adéquate, de caractériser le continu? nous pouvons également nous demander si la présentation standard du continu dépasse l'intuition géométrique? ou encore s'il existe un enchainement logique cohérent entre les étapes successives entreprises par dedekind et cantor dans leurs respectifs travaux ayant abouti à la création des nombres réels? ce genre de questionnements constitue le domaine de recherche de nouveaux champs épistémologiques qui proposent des alternatives au concept standard du continu. cette thèse se propose d'établir les possibilités et les difficultés logiques, épistémologiques et philosophiques suscitées par le continu standard à la lumière des critiques d'ordre logique, comme celles formulées par frege, et des formulations alternatives au continu standard comme celles proposées par weyl et robinson.


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