Etude théorique et numérique de la stabilisation de certains systèmes hyperboliques sur des graphes

par Zahraa Abdallah

Projet de thèse en Mathématiques

Sous la direction de Stéphane Gerbi et de Ali Wehbe.

Thèses en préparation à Chambéry en cotutelle avec l'Université libanaise , dans le cadre de École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques (laboratoire) depuis le 16-11-2020 .


  • Résumé

    Les équations réversibles modélisent de nombreux phénomènes dans le domaine de la mécanique, de l'acoustique, de l'aéronautique, des satellites... Leur contrôle, pour amener l'état du système vers un état cible par exemple ou pour atténuer des vibrations par rétroaction (stabilisation), ainsi que les liens entre ces questions sont un domaine d'étude important qui s'est beaucoup développé depuis les années '80, autour des travaux de A. V. Balakrishnan, C. Bardos- Lebeau- Rauch, N. Burq, H. Fattorini, V. Komornik, J.L. Lions, D.L. Russell, E. Zuazua et bien d'autres. Les nouveaux matériaux: visco- élastiques, piézo-électriques, les nouveaux champs d'applications: en acoustique, structures mécaniques en réseaux... ont ouvert de nouveaux champs de recherche. Une recherche très active s'est amorcée sur les problèmes de stabilisation des systèmes couplés avec amortissement localisé interne ou frontière vérifiant des conditions géométriques. La vitesse de propagation finie pour les équations traitées rend très importante les considérations géométriques. Les méthodes d'énergie sont un des outils puissants pour l'étude mathématique du contrôle et de la stabilisation des EDP. Elles couplent des méthodes géométriques (méthodes de multiplicateurs par exemple) avec des méthodes de type Liapunov ou d'inégalités intégrales. Les techniques développées dans les années '90 et jusqu'à récemment, traitent essentiellement de systèmes autonomes. Le projet de recherche portera sur des problèmes de stabilisation de certains systèmes hyperboliques sur graphes. D'abord, nous allons considérer un système de deux équations d'ondes couplées avec un seul contrôle interne. Nous étudierons, en utilisant une technique de domaine fréquence, la stabilisation de ce système. Nous signalons, au passage, que la stabilisation d'un tel système a été étudiée par Gerbi, Kassem, Mortada et Wehbe sous conditions géométriques. En revanche, le problème de la stabilisation de ce système sur graphes n'a pas encore fait l'objet d'une recherche.

  • Titre traduit

    Theoretical and numerical study of the stabilization of certain hyperbolic systems on graphs


  • Résumé

    Reversible equations model many phenomena in the field of mechanics, acoustics, aeronautics, satellites ... Their control, to bring the state of the system to a target state for example or to attenuate vibrations by feedback (stabilization), as well as the links between these questions is an important field of study which has developed a lot since the 1980s, around the work of AV Balakrishnan, C. Bardos-Lebeau-Rauch, N. Burq , H. Fattorini, V. Komornik, JL Lions, DL Russell, E. Zuazua and many more. New materials: viscoelastic, piezoelectric, new fields of application: in acoustics, mechanical structures in networks ... have opened up new fields of research. Very active research has begun on the problems of stabilization of coupled systems with localized internal damping or boundary verifying geometric conditions. The finite speed of propagation for the treated equations makes geometric considerations very important. Energy methods are one of the powerful tools for the mathematical study of the control and stabilization of PDEs. They couple geometric methods (multiplier methods for example) with Liapunov type methods or integral inequalities. The techniques developed in the 1990s and until recently, deal primarily with stand-alone systems. The research project will focus on stabilization problems of certain hyperbolic systems on graphs. First, we will consider a system of two wave equations coupled with a single internal control. We will study, using a frequency domain technique, the stabilization of this system. We note, in passing, that the stabilization of such a system has been studied by Gerbi, Kassem, Mortada and Wehbe under geometric conditions. On the other hand, the problem of stabilizing this system on graphs has not yet been the subject of research.