Formalisation de calculs polyédraux efficaces : application à la vérification et à la combinatoire

Formalization of effective polyhedron calculus : applications to verification and combinatorics

• Auteur / Autrice : Quentin Canu
• Direction : Georges Gonthier
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques aux interfaces
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2020
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques (Palaiseau, Essonne ; ....-2004)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : TROPICAL - Méthodes tropicales
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Polyèdres

Preuve Formelle

Algorithmique

Polyhedron

Formal Proof

Algorithmics

Résumé

Les polyèdres convexes sont des objets mathématiques intervenant dans une multitude de domaines, allant de l'informatique (géométrie algorithmique, vérification formelle de programmes, compilation et optimisation de programmes, résolution de contraintes) aux mathématiques pures (géométrie algébrique, géométrie tropicale, combinatoire) et appliquées (optimisation, recherche opérationnelle, contrôle). Leur succès réside notamment dans le fait qu'ils constituent un compromis remarquable entre expressivité (ils sont définis comme les solutions de systèmes d'inégalités linéaires) et complexité algorithmique (la programmation linéaire, i.e. l'optimisation d'une fonction linéaire sur un polyèdre, peut être résolue en temps polynomial). L'objectif de cette thèse est : (i) de construire une bibliothèque de calculs sur les polyèdres qui soit formellement prouvée tout en offrant des performances comparables en ordre de grandeur aux bibliothèques informelles, (ii) de mettre en oeuvre cette bibliothèque sur des applications concrètes et représentatives dans les domaines de de la géométrie combinatoire et de la vérification. Nous visons en particulier le calcul certifié de diagrammes de phase de congestion de systèmes de traitement des urgences médicales, dans le cadre d'une collaboration avec les SAMU de l'AP-HP. Le sujet requiert à la fois des développements théoriques qui relèvent de la preuve formelle, de l'algorithmique et des mathématiques, et un travail d'implémentation dans l'assistant de preuve Coq et de mise en oeuvre pratique.

Convex polyhedra are mathematical objects involved in a many areas, ranging from computer science (algorithmic geometry, formal program verification, program compilation and optimization, constraint resolution) to pure mathematics (algebraic geometry, tropical geometry, combinatorics) and applied mathematics (optimization, operations research, control). Their success lies in particular in the fact that they constitute a remarkable tradeoff between expressivity (they are defined as the solutions of systems of linear inequalities) and computational complexity (linear programming, i.e. optimizing a linear function on a polyhedron, can be solved in polynomial time). The objective of this thesis is : (i) to build a library of polyhedral computations that is formally proven while offering performances comparable, in order of magnitude, to informal libraries, (ii) to make use of this library on concrete and representative applications in the fields of combinatorial geometry and verification. In particular, we are aiming at the certified computation of congestion phase diagrams of medical emergency treatment systems, in collaboration with the AP-HP EMS. The subject requires both theoretical developments in formal proof, algorithmics and mathematics, and implementation work in the proof assistant Coq and practical experiments.