Intuition de consistance structurelle des mathématiques élémentaires

par Bigilimwatshi Boyo

Projet de thèse en Philosophie (métaphysique, épistémologie, esthétique)

Sous la direction de Jean-Jacques Szczeciniarz et de Eric Martin.

Thèses en préparation à Paris 7 depuis le 13-04-2010 .


  • Résumé

    Gerhard gentzen a montré la consistance de l'arithmétique élémentaire, sur le fond de la démonstration de l'infinité des nombres premiers, en usant de l'induction complète. la mise en place des règles d'induction, s'appliqueront à la formalisation de l'énoncé que gentzen structure en deux phases : l'énoncé d'induction et l'étape inductive. le principe de l'induction complète, introduit de manière métalogique dans le cadre de cette démonstration, permet donc un usage spécifique des règles d'induction en élimination et introduction des connecteurs logiques. à chaque progression, une transposition structurelle repose la question de la validité des assertions intermédiaires ; cette transposition revenant donc systématiquement sur le modèle de l'énoncé d'induction formalisé au départ, permet le franchissement d'étapes inductives. à partir des règles d'inférence régulatrices de cette formalisation, notre travail dans cette première partie, consistera à déterminer les limites ontologiques de ces règles d'inférence établies par gentzen, pour la consistance de l'arithmétique élémentaire. en prenant partiellement appui sur ces travaux, nous établirons l'intuition d'une consistance structurelle complète. nous étudierons ensuite, la manière fondamentale dont procèdent ces opérations ; comment les opérations se réalisent-elles de manière sémantique dans la structuration des mathématiques élémentaires ? il s'agira d'une structuration de l'opérabilité, dans le sens sémantique des liens que l'opération établit entre différents éléments syntaxiques (principalement ici, les nombres, les variables numériques ainsi que les connecteurs logiques). globalement, notre travail se structurera en trois grandes parties : • sur les origine et développement de l'intuitionnisme en général (y compris celui qu'exprime notre travail dans la première partie). une priorité sera donnée ici, à la réduction des règles de gentzen, ce qui permettra d'établir in fine, un calcul sémantique par la réduction structurelle. réduction basée sur l'expressivité ontologique des règles dont l'intuition caractérise le principal élément. • sur le développement historique et philosophique de l'intuition de la structure élémentaire des mathématiques, nous travaillerons aussi à la perception d'une tradition mathématique diluée dans le temps historique. les origines de cette tradition, peuvent pourtant remontées au moins jusqu'à aristote, si l'on tient compte de son ouvrage : « de l'âme ». • sur la nouvelle approche du développement structurel des mathématiques élémentaires, approche qui fera le pont entre l'antiquité et l'époque contemporaine. il s'agira ici d'une approche philosophique et des applications élémentaires en informatique, aboutissant aux éléments d'une logique de décision. parmi les principaux auteurs, nous citerons : euclide ; aristote ; nicomaque de gérase ; diophante d'alexandrie ; galilée ; descartes ; fermat ; pascal ; lagrange ; cantor ; tarski ; gentzen ; brouwer ; gödel ; … leurs travaux seront évoqués relativement aux différentes époques et différentes thématiques du propos de cette thèse. au-delà du caractère élémentaire des disciplines mathématiques dont nous étudierons les éléments ici : la géométrie ; l'arithmétique ; l'algèbre ; la logique ; … nous nous appuierons sur l'ontologie en tant que domaine de réduction de la pensée de toutes ces disciplines. ce qui permettra d'établir une interface très accessible de compréhension et d'application, et qui synthétise l'intuition des liens directs entre ces branches mathématiques. intuition que l'on retrouve tout le long de l'histoire des mathématiques, exprimée de plusieurs manières et nous ne manquerons pas de les préciser.


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