Modélisation et analyse de systèmes dynamiques inspirés de l'épidémiologie mathématique et déployés sur réseaux complexes

Modeling and analysis of dynamic systems inspired by mathematical epidemiology and deployed on complex networks

• Auteur / Autrice : Irmand Leblond Mikiela Ndzoumbou
• Direction : Moulay-Ahmed Aziz-Alaoui, Armel Andami Ovono
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/11/2023
• Etablissement(s) : Normandie en cotutelle avec Laboratoire de Recherche en Education (Libreville)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre (Le Havre, Seine-Maritime)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement co-accrédité : Université du Havre (1984-....)
• Jury : Président / Présidente : Pierre Auger
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alain Miranville, Radouane Yafia, Arnaud Ducrot, Valentina Lanza, Cristina João Silva
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alain Miranville, Radouane Yafia

Mots clés

Mots clés contrôlés

Épidémiologie

Équations de réaction-diffusion

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Modèles à compartiments

Dynamique de populations

Diffusion non locale

Réseaux d'EDP

Modélisation des réseaux d'EDP

Migration des espèces

Systèmes couplés d’EDP

Contrôle optimal

Simulation numérique

Compartment models

Population dynamics

Epidemiology

Reaction-diffusion equation system

Résumé

Ma thèse présente des résultats novateurs concernant les modèles à compartiments, des outils fréquemment employés en épidémiologie et dynamique de populations. J'ai exploré des systèmes de réaction-diffusion à compartiments avec diffusion non locale, ainsi que des réseaux d'équations aux dérivées partielles (EDP) sur des domaines disjoints couplés de manière non locale.Dans le premier chapitre, j'ai abordé un système d'EDP de type réaction-diffusion qui modélise la dynamique spatio-temporelle de la densité de plusieurs populations. J'ai considéré des coefficients de diffusion variables, fonction de la densité totale ou d'une population spécifique, ce qui est adapté pour représenter des espèces migrantes ou réagissant à la densité locale. J'ai étudié l'existence locale et globale des solutions, leur positivité et régularité, en prenant comme cas d'étude le modèle PCR (Panic-Reflexe-Contrôle), qui décrit l'évolution des comportements humains en cas de catastrophes. J'ai exploré différentes formes de coefficients de diffusion non locale et comparé les simulations numériques avec celles de la diffusion locale.Dans la deuxième partie, j'ai étendu l'étude à des populations évoluant dans des domaines disjoints, avec diffusion locale à l'intérieur de chaque domaine et migration entre eux. J'ai développé un réseau de systèmes de réaction-diffusion couplés par des termes non locaux, offrant une approche plus générale que les modèles présents dans la littérature. Dans le troisième chapitre, j'ai établi des résultats théoriques sur ce réseau d'EDP couplées et démontré l'existence locale et globale des solutions pour le cas de modèles SIS couplés non localement. J'ai également réalisé des simulations numériques pour analyser l'influence de la topologie du réseau.Dans le dernier chapitre, j'ai abordé un problème de contrôle optimal pour un modèle à compartiments représentant le comportement humain, en collaboration avec le projet ANR Com2SiCa. Nous avons proposé trois stratégies de contrôle visant à réduire la panique et les pertes humaines lors de catastrophes. J'ai formulé et prouvé l'existence d'un contrôle optimal, caractérisé à l'aide du principe du maximum de Pontryagin. Des résultats numériques ont illustré la meilleure stratégie à adopter dans le scénario d'un tsunami méditerranéen à Nice (France).Ces travaux de thèse ont conduit à la publication de deux articles dans des revues internationales, mettant en lumière l'importance des modèles et des stratégies de contrôle proposées pour la compréhension et la gestion des comportements humains en situation de catastrophe.

My thesis presents innovative results concerning compartment models, tools frequently used in epidemiology and population dynamics. I explored compartmental reaction-diffusion systems with nonlocal diffusion, as well as networks of partial differential equations (PDEs) over nonlocally coupled disjoint domains.In the first chapter, I discussed a reaction-diffusion type PDE system which models the spatio-temporal dynamics of the density of several populations. I considered variable diffusion coefficients, depending on the total density or a specific population, which is suitable to represent migrating species or reacting to local density. I studied the local and global existence of solutions, their positivity and regularity, taking as a case study the PCR (Panic-Reflex-Control) model, which describes the evolution of human behavior in the event of disasters. I explored different forms of non-local diffusion coefficients and compared the numerical simulations with those of local diffusion.In the second part, I extended the study to populations evolving in disjoint domains, with local diffusion within each domain and migration between them. I developed a network of reaction-diffusion systems coupled by non-local terms, offering a more general approach than the models present in the literature. In the third chapter, I established theoretical results on this network of coupled PDEs and demonstrated the local and global existence of solutions for the case of non-locally coupled SIS models. I also carried out numerical simulations to analyze the influence of network topology.In the last chapter, I addressed an optimal control problem for a compartment model representing human behavior, in collaboration with the ANR Com2SiCa project. We proposed three control strategies aimed at reducing panic and human losses during disasters. I formulated and proved the existence of optimal control, characterized using Pontryagin's maximum principle. Numerical results illustrated the best strategy to adopt in the scenario of a Mediterranean tsunami in Nice (France).This thesis work led to the publication of two articles in international journals, highlighting the importance of the models and control strategies proposed for the understanding and management of human behavior in disaster situations.