Éléments finis hp adaptatifs avec contraction d'erreur garantie et solveurs multi-niveaux inexacts

par Patrik Daniel

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Martin Vohralik et de Alexandre Ern.

Thèses en préparation à Sorbonne université , dans le cadre de Sciences mathématiques de Paris Centre .

  • Titre traduit

    Éléments finis hp adaptatifs avec contraction d’erreur garantie et solveurs multi-niveaux inexacts


  • Résumé

    Nous proposons de nouveaux algorithmes de raffinement adaptatif pour l'approximation des problèmes elliptiques par la méthode des éléments finis hp. Nous considérons des solveurs algébriques exacts puis inexacts au sein du cadre générique des méthodes adaptatives consistant en quatre modules concaténés: RESOLUTION, ESTIMATION, MARQUAGE, RAFFINEMENT. Les stratégies reposent sur la construction d'estimateurs d'erreur a posteriori par flux équilibrés. Notamment, pour une approximation inexacte obtenue par un solveur algébrique itératif (arbitraire), nous prouvons une borne sur l'erreur totale ainsi que sur l'erreur algébrique et l'erreur de discrétisation. La structure hiérarchique des espaces d'éléments finis hp est cruciale pour obtenir la borne supérieure sur l'erreur algébrique, ce qui nous permet de formuler des critères d'arrêt précis pour le solveur algébrique. Notre critère de raffinement hp repose sur la résolution de deux problèmes résiduels locaux, posés sur les macro-éléments autour des sommets du maillage qui ont été marqués. Ces derniers sont sélectionnés par un critère de type bulk-chasing. Ceux deux problèmes résiduels imitent l'effet du raffinement h et p. Une caractéristique de notre approche est que nous obtenons une quantité calculable qui donne une borne garantie sur le rapport entre l¿erreur d¿énergie (inconnue) à la prochaine étape de la boucle adaptative et l¿erreur actuelle (i.e. sur le facteur de réduction d¿erreur). Des simulations numériques sont présentées afin de valider les stratégies adaptatives. Nous examinons la précision de notre borne sur le facteur de réduction d¿erreur qui s¿avère être excellente, avec des indices d'efficacité proches d


  • Résumé

    Abcd