La hiérarchie moments-sommes-de-carrés pour le contrôle des EDP non-linéaires

par Quentin Vila

Projet de thèse en Automatique

Sous la direction de Didier Henrion et de Jean-bernard Lasserre.

Thèses en préparation à Toulouse, INSA , dans le cadre de École doctorale Systèmes , en partenariat avec LAAS - Laboratoire d'Analyse et d'Architecture des Systèmes (laboratoire) et de MAC - Méthodes et Algorithmes en Commande (equipe de recherche) depuis le 01-09-2019 .


  • Résumé

    Cette thèse se focalise sur l'étude et le développement de la hiérarchie moments-sommes-de-carrés pour l'analyse et le contrôle des systèmes dynamiques décrits par des équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires. La hiiérarchie moments-sommes-de-carrés est une technologie mathématique basée sur l'optimisation convexe des problèmes de décision (par exemple optimisation, ou contrôle) qui sont difficiles à traîter dans leur formulation originale (car ils sont non-linéaires, non-convexes ou de dimenison infinie). La taille des relaxations convexes et donc la puissance de calcul nécessaire augmtentent au fur et à mesure que l'on progresse dans la hiérarchie. On souhaite avoir des garanties théoriques de convergence, dans le sens où l'on pourra résoudre le problème difficile original au prix de résoudre un problème convexe de taille arbitrairement grande dans la hiérarchie. Les EDP non-linéaires visées sont celles utilisées en mécanique des fluides (Burgers, Euler, Navier-Stoke) ainsi que les modèles de réaction-diffusion (Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov, Fitzhugh-Nagumo).

  • Titre traduit

    The Moment-Sum-Of-Square Hierarchy for controlling nonlinear PDEs


  • Résumé

    This thesis focuses on the study and the development of the Moment-Sum-of-Squares (SOS) hierarchy for the analysis and control of dynamical systems described by nonlinear partial differential equations (EDP). The Moment-SOS hierarchy is a mathematical technology based on convex optimization for decision problems (optimization problems or control problems for example) which are difficult to treat in their orignial formulation (for they are nonlinear, nonconvex or of infinite dimension). The size of the convex relaxations, and so the necessary calculation power, go up when progressing in the hierarchy. One wishes obtain theorical guaranties of convergence, in the sens where they may solve the difficult orignial problem by solving a convex problem of arbitrary high size in the hierarchy. The nonlinear PDEs that are targeted are those used in fluid mechanics (Burgers, Euler, Navier-Stokes) and the reaction-diffusion models (Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov, Fitzhugh-Nagumo).