Décomposition d'opérateur 'One-Way' en milieux inhomogènes

par Clément Rudel

Projet de thèse en Mathématiques et Applications

Sous la direction de Sébastien Pernet et de Jean Philippe Brazier.

Thèses en préparation à Toulouse, ISAE , dans le cadre de École doctorale Aéronautique-Astronautique , en partenariat avec ISAE-ONERA MOIS MOdélisation et Ingénierie des Systèmes (laboratoire) et de ONERA/DTIS/MITT - Département Traitement de l'Information et Systèmes (equipe de recherche) depuis le 04-02-2019 .


  • Résumé

    De nombreux phénomènes physiques font intervenir la propagation d'ondes de diverses natures. En mécanique des fluides, on peut citer les ondes acoustiques ou les instabilités d'écoulement. Si ces ondes obéissent aux équations générales de la physique (Maxwell, Navier-Stokes, ...), la résolution de ces dernières dans un vaste domaine et avec une précision élevée est souvent excessivement coûteuse. On est donc conduit à rechercher des systèmes d'équations réduits mais préservant les propriétés physiques de l'onde (dispersion, atténuation, ...), en tirant parti de certaines spécificités du problème. En particulier, la propagation s'effectue assez souvent dans une direction privilégiée. Si l'on arrive à séparer les différents modes locaux du système différentiel général et à extraire l'opérateur de propagation dans la direction concernée, on peut aboutir à une méthode de résolution plus économique en marchant dans la direction de l'onde. Ce type d'équation parabolisée est déjà employé pour la propagation acoustique dans les milieux au repos. Une méthode plus rudimentaire appelée PSE (Parabolized Stability Equations) est également employée pour calculer les ondes instables dans une couche limite. Mais cette méthode tombe en défaut lorsque plusieurs ondes de nature différente (hydrodynamique et acoustique par exemple) se propagent simultanément dans la même direction. Une nouvelle approche baptisée «One-Way equations» a été récemment proposée par une équipe du CalTech. Cette approche repose sur une décomposition locale de l'opérateur pour une fréquence fixée et elle permet de transformer le problème elliptique en problème parabolique. On peut ainsi suivre plusieurs ondes se propageant ensemble mais à des vitesses différentes. Les résultats présentés semblent prometteurs. Le travail de thèse proposé consistera tout d'abord à étudier les travaux publiés sur les équations One-Way, en comprendre le fondement mathématique et en évaluer le domaine de validité. Nous envisageons ensuite deux voies de travail. La première consistera à appliquer/étendre l'approche à différents problèmes en milieux complexes(électromagnétisme, mécanique des fluides ...etc ...). Nous commencerons par construire des formulations rigoureuses et si possible, par les analyser théoriquement. On développera ensuite un code de calcul permettant d'obtenir des solutions, qui seront comparées aux solutions existantes obtenues avec d'autres approches. On tentera enfin d'étendre l'approche One-Way à des problèmes plus complexes (3D, instationnaire, formalisme lagrangien, etc). La seconde s'attachera à investiguer la possibilité d'utiliser l'approche One-Way afin de dériver des conditions aux limites qui permettent de gérer les différentes ondes devant sortir du domaine de calcul afin de borner le domaine de calcul. Cet axe est naturellement complémentaire au premier et est essentiel afin d'optimiser le couple précision/coût des calculs.

  • Titre traduit

    One-Way decomposition for wave propagation in inhomogeneous medium


  • Résumé

    The first aspect will be to apply the One-way method on differents cases in complex environment (electromagnetism, fluid mechanics...). This approach will be mathematically studied before developping a code allowing to compare the solutions with existing and verified ones. The second aspect will be to investigate about the boundary conditions using the One-Way method. These boundary conditions will have to deal with differents kinds of waves going out of the computation domains and are necessary to improve the ratio accuracy/CPU time.