Apports de l'algorithmique exponentielle à la résolution exacte ou approchée de problèmes d'ordonnancement

par Olivier Ploton

Projet de thèse en Informatique

Sous la direction de Vincent T'kindt.

Thèses en préparation à Tours , dans le cadre de Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes - MIPTIS , en partenariat avec Laboratoire d'Informatique Fondamentale et Appliquée de Tours (laboratoire) depuis le 11-10-2019 .


  • Résumé

    1. Contexte de la thèse Traditionnellement, les comparaisons des méthodes de résolutions d'un problème NP-difficile s'effectuent sur leur comportement en moyenne, face à des instances standards ou générées aléatoirement. Dans l'approche envisagée dans ce sujet de thèse, la comparaison s'effectue sur un plan théorique, en utilisant la notation asymptotique O*(.), et elle s'effectue dans le pire des cas. Il faut pour cela répondre à la question : "Étant donné une méthode, destinée à résoudre un problème d'ordonnancement NP-difficile, quelle est la complexité dans le pire des cas de cette méthode, en fonction de la taille de l'instance ? " Répondre à cette question n'est pas chose aisée. Il n'est, par exemple, pas forcément simple de calculer la complexité dans le pire des cas d'une procédure par séparation et évaluation. Les bornes inférieures et les conditions de dominance ne s'appliquent pas systématiquement, et il est très difficile de prédire leur action sans faire d'hypothèses sur l'instance résolue. On est donc amené à imaginer d'autres méthodes de résolution, peut-être moins efficaces en moyenne, mais dont la complexité dans le pire des cas s'étudie plus simplement. Une question émerge ensuite naturellement : " Étant donné un problème P, NP-difficile, quelle est la méthode résolvant P ayant la plus petite complexité dans le pire des cas ? La complexité de cette méthode sera alors appelée la complexité dans le pire des cas du problème P. " Mais répondre à cette question reviendrait à répondre à la question « P = NP? » : on essaiera plutôt de trouver une majoration de cette complexité dans le pire des cas. Les méthodes étudiées sont, a priori, exponentielles et c'est la base de l'exponentielle qui déterminera leur rapidité sur de grandes instances. Ce type d'étude n'est pas nouveau, il a été effectué dès les années 60 sur le problème CNF-SAT [Davis and Putnam, 1960]), sur le problème du voyageur de commerce ([Held and Karp, 1962]) ainsi que sur de nombreux problèmes issus de la théorie des graphes ([Tarjan and Trojanowski, 1977], [Fomin et al., 2006], [Bourgeois et al., 2010]). L'ouvrage de [Fomin and Kratsch, 2010] propose un très large panorama des méthodes exactes et des problèmes abordés dans la littérature. Peu d'études, par contre, ont été menées sur les problèmes d'ordonnancement. En dehors des travaux récents menés au sein des laboratoires des universités de Tours (LIFAT) et Orléans (LIFO), seuls existent quelques résultats sur des problèmes à une machine ([Woeginger, 2003], [Fomin and Kratsch, 2010] et [Cygan et al., 2011]). Dans le cadre de la thèse de [Shang, 2017] nous avons pu proposer de premiers algorithmes exactes exponentiels pour la résolution de problèmes d'ordonnancement de type flowshop ou à une machine. Par ailleurs, les travaux menés au sein du LIFAT (certains en collaboration avec le LIFO) ont également donné lieu à la publication de résultats portant sur la théorie de l'ordonnancement ([Lenté et al., 2013] [Garraffa et al., 2018] [Shang et al., 2018], [Shang et T'kindt, 2019]). Tous ces travaux concernent la proposition de méthodes exactes. Dès lors que l'on s'intéresse à l'établissement d'algorithmes approchés, dit d'approximation, fonctionnant en temps exponentiel, il n'existe pas à notre connaissance de résultats connus. Cela ouvre la voie à de nombreuses directions de recherche pertinente au regard de la littérature. 2. Objectif de la Thèse L'objectif de la thèse est centré sur l'étude de problèmes d'ordonnancement à une machine ou à machines parallèles NP-difficiles au sens de la théorie de la complexité, pour lesquelles des méthodes exactes ou approchées fonctionnant en temps exponentiel seront proposées. Les problèmes abordés sont des problèmes de permutation où une solution est représentée par un ou plusieurs permutations d'entiers. Concernant la proposition d'algorithmes d'approximation nous nous intéresserons à des problèmes non approximables en temps polynomial : l'existence d'algorithmes d'approximation en temps sous-exponentiel devient alors pertinente. L'efficacité de ces algorithmes devra alors être comparée à celle d'algorithmes exactes pour lesquels la complexité au pire cas sera aussi étudiée. Un point novateur de la thèse sera d'étudiée, pour proposer des algorithmes, la technique appelée inclusion-exclusion qui permet d'évaluer la cardinalité d'une union d'ensembles d'éléments (e.g. [Bjorklund et al., 2009]). Il s'agit d'une approche complexe qui a donné de bons résultats lorsqu'elle a pu être appliquée. En théorie de l'ordonnancement, son application semble prometteuse. Le sujet de cette thèse est donc un sujet théorique à la croisée entre informatique et mathématiques. Cette thèse de doctorat permettra donc de développer des collaborations avec des collègues de l'Institut Denis Poisson (UMR CNRS 7013) présents sur le site de Tours. Des contacts ont déjà eu lieu en ce sens. Références bibliographiques [Bjorklund et al., 2009] Bjorklund, A., Husfeldt, T., and Koivisto, M. (2009). Set Partitionning via Inclusion-Exclusion. SIAM Journal on Computing, vol 39, n°2, pp. 546-563. [Bourgeois et al., 2010] Bourgeois, N., Escoffier, B., Paschos, V., and van Rooij, J. (2010). A bottom-up method and fast algorithms for max independent set. In proceedings of 12th Scandinavian Symposium and Workshops on Algorithm Theory (SWAT 2010), Lecture Notes in Comput. Sci., volume 6139, pages 62–73. [Cygan et al., 2011] Cygan, M., Pilipczuk, M. P. M., and J.O. Wojtaszczyk, J. (2011). In Demetrescu, C. and Halldórsson, M., editors, Algorithms - ESA 2011, volume 6942 of Lecture Notes in Computer Science, pages 299–310. Springer Berlin / Heidelberg. [Davis and Putnam, 1960] Davis, M. and Putnam, H. (1960). A computing procedure for quantification theory. Journal of the ACM, 7 :201–215. [Fomin and Kratsch, 2010] Fomin, F. and Kratsch, D. (2010). Exact Exponential Algorithms. Springer. [Fomin et al., 2006] Fomin, F., Grandoni, F., and D.Kratsch (2006). Measure & conquer : a simple 0(20.288n) independent set algorithm. In proceedings of 17th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA 2006), pages 18–25. [Garraffa et al, 2018] Garraffa, M., Shang, L., Della Croce, F., T'kindt, V. (2018). An Exact Exponential Branch-and-Merge algorithm for the single machine total tardiness scheduling problem, Theoretical Computer Science, vol 745, n°12, pp. 133-149. [Held and Karp, 1962] Held, M. and Karp, R. (1962). A dynamic programming approach to sequencing problems. Journal of SIAM, 10 :196–210. [Lenté et al., 2013] Lenté, C., Liedloff, M., Soukhal, A., T'kindt, V. (2013). On an extension of the Sort & Search method with application to scheduling theory, Theoretical Computer Science, vol 511, pp. 13-22. [Shang, 2017] Shang, L. (2017). Exact algorithms with worst-case guarantee for scheduling: from theory to practice. Thèse de doctorat de l'Université de Tours, 154 pages. [Shang et al., 2018] Shang, L., Lenté, M., Liedloff, M., T'kindt, V. (2018). Exact exponential algorithms for 3-machine flowshop scheduling problems, Journal of Scheduling, vol 21, n°2, pp. 227-233. [Shang et T'kindt, 2019] Shang, L., T'kindt, V. (2019). A Sort & Search method for multicriteria optimization problems with applications to scheduling theory, International Journal Multi-Criteria Decision Analysis, en presse. [Tarjan and Trojanowski, 1977] Tarjan, R. and Trojanowski, A. (1977). Finding a maximum independent set. SIAM Journal on Computing, 6 :537–546. [Woeginger, 2003] Woeginger, G. (2003). Exact algorithms for NP-hard problems : A survey. Pages 185–207.

  • Titre traduit

    Contribution of exponential algorithmic to exact or approximate resolution of scheduling problems


  • Résumé

    This thesis is aimed at sutying NP-hard scheduling problems. Exact or approximate exponential methods shall be proposed to solve such problems. Many scheduling problems are permutation problems, in which a solution can be represented by a permutation on integers. Some promising techniques in this situation, as inclusion-exclusion, subset convolution or other mathematical tools shall be studied.