Some results on the stabilization of elastic/viscoelastic transmission problems with Kelvin-Voigt or fractional Kelvin-Voigt damping

• Auteur / Autrice : Ibtissam Issa
• Direction : Michel Mehrenberger, Ali Wehbe
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 07/12/2021
• Etablissement(s) : Aix-Marseille en cotutelle avec Université Libanaise. Faculté des Sciences (Beyrouth, Liban)
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M) (Marseille, Luminy) (2014-....) - KALMA LAB
• Jury : Président / Présidente : Lahcen Maniar
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Kais Ammari, Zaynab Salloum, Mohammad Akil
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Emmanuelle Crépeau-Jaisson, Zhuangyi Liu

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes dynamiques hyperboliques

Étalons de fréquence

Matériaux viscoélastiques

Équations d'onde

Mots clés libres

C0-semi-groupe

Stabilité forte

Stabilité exponentielle

Stabilité polynomiale

Méthode du domaine fréquentiel

Méthode du multiplicateur

Analyse spectrale

Condition géométrique

C0-Semigroup

Strong stability

Exponential stability

Polynomial stability

Frequency domain method

Multiplier method

Spectral analysis

Geometric condition

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de la stabilisation de certains systèmes localement couplés. Tout d'abord, nous étudions la stabilité d'équations d'onde couplées unidimensionnelles avec deux amortissements visqueux intérieurs non lisses où nous établissons une stabilité exponentielle. Dans un second temps, nous étudions la stabilisation d'équations d'onde localement couplées avec un seul amortissement viscoélastique interne de type Kelvin-Voigt. L'amortissement et les coefficients de couplage ne sont pas lisses. En utilisant une approche spectrale, nous démontrons la stabilité non uniforme du système. Ensuite, en utilisant une approche dans le domaine fréquentiel, combinée à une technique de multiplicateur par morceaux et à la construction d'un nouveau multiplicateur satisfaisant quelques équations différentielles ordinaires, nous montrons que l'énergie de la solution lisse du système décroît polynomiale. Troisièmement, nous étudions la décroissance énergétique de systèmes hyperboliques de type onde-onde, onde-Euler Bernoulli et faisceau-faisceau. En effet, les deux équations sont couplées par liaison limite avec un seul amortissement fractionnaire Kelvin Voigt localisé non lisse. Nous établissons un taux de décroissance d'énergie polynomial. Enfin, nous étudions la stabilité d'un système multidimensionnel de deux équations d'onde couplées par des vitesses avec un seul amortissement Kelvin-Voigt localisé non lisse. En utilisant une analyse spectrale, nous prouvons la stabilité non uniforme du système. Nous établissons des résultats de stabilité polynomiale en considérant différentes conditions géométriques sur les domaines de couplage et d'amortissement

This thesis is devoted to study the stabilization of some locally coupled systems. First, we study the stability of a one-dimensional coupled wave equations with two interior non smooth viscous dampings where we establish exponential stability. Second, we study the stabilization of a locally coupled wave equations with only one internal viscoelastic damping of Kelvin-Voigt type. Both the damping and the coupling coefficients are non smooth. Using a spectrum approach, we prove the non-uniform stability of the system. Next, using a frequency domain approach, combined with a piecewise multiplier technique and the construction of a new multiplier satisfying some ordinary differential equations, we show that the energy of the smooth solution of the system decays polynomially. Third, we investigate the energy decay of hyperbolic systems of wave-wave, wave-Euler Bernoulli beam and beam-beam types. Indeed, the two equations are coupled through boundary connection with only one localized non smooth fractional Kelvin Voigt damping. We establish a polynomial energy decay rate. Finally, we study the stability of a multidimensional system of two wave equations coupled by velocities with only one localized non-smooth Kelvin-Voigt damping. By using a spectral analysis, we prove the non uniform stability of the system. Further, using a frequency domain approach combined with a multiplier technique, we establish some polynomial stability results by considering different geometric conditions on the coupling and the damping domains. In addition, in the absence of any geometric condition, we establish two polynomial energy decay rates of the system on a square domain