Caractérisation du taux de décroissance exponentiel des solutions de systèmes linéaires à retard

par Amina Benarab

Projet de thèse en Mathématiques et Informatique

Sous la direction de Islam Boussaada, Catherine Bonnet et de Karim Trabelsi.

Thèses en préparation à université Paris-Saclay , dans le cadre de École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication , en partenariat avec Laboratoire des Signaux et Systèmes (laboratoire) , Systèmes (equipe de recherche) et de Faculté des sciences d'Orsay (référent) depuis le 01-10-2019 .


  • Résumé

    Contexte de la recherche : Les systèmes dynamiques évoluent d'ordinaire en présence de retards. Ces retards sont souvent justifiés par les latences entre l'acquisition de l'information et la prise de décision et entre la prise de décision et l'exécution de cette décision. Le retard peut aussi être perçu comme un paramètre intrinsèque au système, et ce, typiquement, dans des applications évoquant des phénomènes de propagation (e.g., propagation de vibrations en torsion et en traction-compression le long d'un train de tiges d'un système de forage pétrolier), ou des retards intentionnellement incorporés dans les lois de commandes afin d'éviter la démultiplication des capteurs, ou encore en raison de contraintes technologiques empêchant l'acquisition instantanée des informations sur l'état du système (e.g., la stabilisation d'un pendule inversé par des lois de commande retardées dispensant ainsi de l'usage d'un capteur de vitesse angulaire). Une des approches effectives dans l'analyse de stabilité de systèmes à retard s'articule autour de l'identification des fréquences de coupure en fonction des paramètres du système et de la caractérisation des bifurcations des valeurs spectrales correspondantes en présence de perturbations, ce qu'on appelle par la suite l'approche fréquentielle. En effet, la stabilité d'un quasi-polynôme $Delta(lambda, tau)$ (équation caractéristique d'un système à retard) se traduit par la mise en évidence d'un réel $sigma>0$ tel que toutes les racines $ambda_k$ de $Delta(ambda, tau)$ soient à partie réelle strictement inférieure à $-sigma$. Une fois la stabilité d'un système à retard prouvée, il est toujours important de caractériser le taux de décroissance exponentiel des solutions de tels systèmes. Dans le domaine fréquentiel, ce taux de décroissance correspond à la valeur spectrale dominante. Dans son travail pionnier, Hayes donne une caractérisation analytique de la valeur spectrale dominante de l'équation scalaire à un seul retard. A notre connaissance, et en toute généralité, la distribution des zéros de fonctions quasipolynômiales (d'ordre supérieur à 1 et/ou à plusieurs retards) reste un problème ouvert, ainsi qu'en particulier la localisation de sa racine dominante. Récemment, l'équipe a exploré l'effet de la multiplicité sur la dominance de la valeur spectrale. Des conditions nécessaires et suffisantes de dominance ont été obtenues. Entre autres, ces conditions ont été exploitées dans la conception de lois de commande stabilisantes pour la poutre vibrante. En premier lieu, le candidat sera amené à poursuivre cette exploration de la distribution de zéros de fonctions quasipolynômiales en considérant des configurations avec une dominance de valeurs spectrales à partie réelle non nulle. Une caractérisation des propriétés structurelles des quasi-polynômes jouissant de cette propriété est attendue. Une seconde extension concernera des systèmes à retard de type neutre. Cette dernière classe de systèmes est réductible via les solutions de D'Alembert à un système d'équations d'ondes. Cette étude est motivée par l'intérêt de contrôler le spectre de tels systèmes dans l'inversion de la transformée de Laplace de trains d'ondes. Une amélioration de la précision des schémas d'inversion numérique de la transformée de Laplace en présence d'amortissements réalistes (décroissance non purement exponentielle - stabilité à mémoire longue) sera abordée sur les modèles en considération. Etapes : Après un tour d'horizon de la bibliographie proposée sur la stabilité et la stabilisation des systèmes à retard et les méthodes développées par l'équipe dans la caractérisation spectrale des opérateurs, le candidat sera amené en premier lieu à établir les algorithmes et implémentations symboliques/numériques permettant de caractériser le spectre de l'opérateur linéaire. Les algorithmes développés seront appliqués à plusieurs cas d'études et comparés avec des analyses obtenues avec d'autres méthodes. Profil souhaité : Niveau Master Recherche (M2R) en Mathématiques appliquées ou en Automatique avec des compétences en systèmes dynamiques en dimension infinie. Une expérience en logiciels de calcul symbolique/numérique (Maple, Matlab/Simulink ...) est attendue. Un goût prononcé pour les méthodes de calcul scientifique serait un complément très appréciable. Bibliographie : M. B. Saldivar, I. Boussaada, H. Mounier, and S-I. Niculescu. Analysis and Control of Oilwell Drilling Vibrations. Springer, 2015. I. Boussaada, I-C. Morarescu, and S-I. Niculescu. Inverted pendulum stabilization: Characterization of codimension-three triple zero bifurcation via multiple delayed proportional gains. Systems and Control Letters, 82:1-9, August 2015. N. D. Hayes. Roots of the transcendental equation associated with a certain difference- differential equation. Journal of the London Mathematical Society, s1-25(3):226-232, 1950. I. Boussaada and S-I. Niculescu. Tracking the Algebraic Multiplicity of Crossing Imaginary Roots for Generic Quasipolynomials: A Vandermonde-Based Approach. IEEE Transactions on Automatic Control, 61(6):1601-1606, June 2016. I. Boussaada and S-I. Niculescu. Characterizing the Codimension of Zero Singularities for Time-Delay Systems : A Link with Vandermonde and Birkhoff Incidence Matrices. Acta Applicandae Mathematicae, 145(1):47-88, October 2016. K. Trabelsi, Th. Hélie et D. Matignon On the inversion of the Laplace Transform in the context of physical models with realistic damping, Technical report ENSTA, 2008. K. Trabelsi, Th. Hélie et D. Matignon. Time-domain simulation of functions and dynamical systems of Bessel type, The 8th International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Waves, (Waves 2007), University of Reading, SIAM & INRIA, july 2007.

  • Titre traduit

    Characterization of the solution's exponential decay for Time-delay systems


  • Résumé

    Controlled dynamical systems operate ordinarily in the presence of delays, primarily due to the time it takes to acquire the information needed for decision-making, to create control decisions, and to execute these decisions. In the last decades, there has been strong and ever-growing interest on time delay systems mainly owing to the increasing complexity in applications from network control systems and mechatronics to biology and economics, all of which have their own peculiarities in exhibiting time delays in their dynamics. A question of ongoing interest for linear Time-delay systems is to determine conditions on the equation's parameters that guarantee the exponential/asymptotic stability of solutions. Several approaches in tackling such a problem exist. In particular, an efficient way to study a solution's stability is the frequency domain approach. As a matter of fact, in the Laplace domain, the stability analysis amounts to study the distribution of characteristic quasipolynomial functions' roots. Once such conditions are established; a further question is related to performance of these systems and concerns the estimation of the solution's convergence rate, which amounts to characterizing the corresponding rightmost roots of the system characteristic equation. Recently, the team explored the effect of multiplicity on dominancy od spectral values. Necessary and sufficient conditions on multiple roots to be dominant are established for reduced order delay systems. Among others, such conditions were exploited in control design for active vibration damping. The aim of this thesis, is to further explore such property and extend it to more general classes such as neutral systems, TDS with delay-dependent coefficients, distributed delay systems ...