Constructions d'orthogonalité bicatégoriques pour la logique linéaire

Bicategorical orthogonality constructions for linear logic

• Auteur / Autrice : Zeinab Galal
• Direction : Thomas Ehrhard, Christine Tasson
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Logique et fondements de l'informatique
• Date : Soutenance le 27/09/2021
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
• Jury : Président / Présidente : Muriel Livernet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thomas Ehrhard, Christine Tasson, Muriel Livernet, Tom Hirschowitz, André Joyal, Lionel Vaux, J. M. E. Hyland, Samuel Mimram
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Tom Hirschowitz, André Joyal

Mots clés

Mots clés contrôlés

Logique de seuil

Mots clés libres

Logique linéaire

Sémantique dénotationnelle

Bicatégories

Orthogonalité

Linear logic

Denotational semantics

Bicategories

Orthogonality

Résumé

Cette thèse porte sur la sémantique bicatégorique de la logique linéaire. Elle s'incrit dans le cadre de catégorification des modèles de calculs où l'on remplace des sémantiques où les types sont interprétés par des ensembles ou des préordres par des structures catégoriques plus riches permettant d'obtenir des invariants mathématiques plus fins. Nous nous intéressons spécifiquement à la catégorification du modèle relationel de la logique linéaire par le modèle des espèces généralisées introduit par Fiore, Gambino, Hyland et Winskel ansi qu'à ses raffinements par des constructions d'orthogonalité. Nous présentons dans un premier temps une généralisation bicatégorique du modèle des espaces de finitude introduit par Ehrhard où nous introduisons une orthogonalité sur la bicatégorie des espèces nous permettant d'obtenir une bicatégorie où les interactions entre programmes et environnements sont finies. Toute la structure de logique linéaire du modèle des espèces peut alors être transposée dans cette nouvelle bicatégorie. Nous considérons ensuite la catégorification de la notion de stabilité des fonctions stables à la Berry vers les foncteurs stables. Nous combinons les espèces de structure avec la stabilité grâce à une orthogonalité sur les sous-groupes d'endomorphismes pour chaque objet d'un groupoïde. Cette orthogonalité peut aussi être traduite en une orthogonalité sur la catégorie de préfaiscaux d'un groupoïde nous permettant de restreindre les foncteurs analytiques associés aux espèces à des foncteurs stables et nous montrons qu'ils forment une bicatégorie cartésienne fermée. Nous étudions dernièrement la catégorification du modèle de Scott de la logique linéaire et son lien avec le modèle des espèces. Nous commençons par montrer que la bicatégorie des profoncteurs équipée de la pseudo-comonade des coproduits finis est un modèle de la logique linéaire catégorifiant le modèle de Scott. Nous introduisons ensuite une orthogonalité entre la bicatégorie de Scott obtenue et la bicatégorie des espèces et obtenons une nouvelle bicatégorie constituant une première étape afin de relier la substitution linéaire et non-linéaire dans ce contexte.

This thesis is concerned with the bicategorical semantics of linear logic. We follow the line of research of categorifying models of linear logic by replacing semantics where types are sets or preorders with richer categorical structures providing finer mathematical invariants. In this thesis, we are interested in the categorification of the relational model of linear logic with the generalized species model introduced by Fiore, Gambino, Hyland and Winskel; and its refinements using orthogonality constructions. We first present a bicategorical generalization of the model of finiteness spaces introduced by Ehrhard where we introduce an orthogonality construction on the bicategory of profunctors based on finite presentability to obtain a new bicategory where all interactions between programs and environments are enforced to be finite. We show that all the linear logic structure in the bicategory of profunctors can be refined to this new bicategory. We then consider the categorication of the computational notion of stability from stable functions to stable functors. We bring together generalized species of structures and stability by refining the species model with an orthogonality on subgroups of endomorphisms for each object in a groupoid. We show that this orthogonality can also be translated to an orthogonality on the category of presheaves associated with a groupoid that allows us to restrict the analytic functors to stable functors and prove that they form a cartesian closed bicategory. We lastly study the categorification of the qualitative Scott model of linear logic and its connection with the quantitative species model of Fiore et al. We start by showing that the bicategory of profunctors with the finite coproduct pseudo-comonad is a model of linear logic that categorifies the Scott model. We then define an orthogonality between the Scott bicategory and the species bicategory that allows us to construct a new bicategory giving us a first step towards connecting linear and non-linear substitution in this setting.