Dynamiques, comportement asymptotique et rectificabilité

par Sebastián Tapia

Projet de thèse en Mathématiques Pures

Sous la direction de Robert Deville et de Aris Daniilidis.

Thèses en préparation à Bordeaux en cotutelle avec l'Universidad de Chile , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde) , en partenariat avec IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux (laboratoire) et de Analyse (equipe de recherche) depuis le 01-04-2019 .


  • Résumé

    La dynamique des opérateurs hypercycliques est un sujet qui a connu d'intenses recherches au niveau international ces dernières 30 années. Il existe une classe, encore mal connue, d'opérateurs qui ne sont pas hypercycliques, et qui pourtant développent aussi une dynamique assez étrange : En effet, les opérateurs de cette classe sont tels qu'il y a beaucoup de points dans l'espace sous-jacent dont l'orbite part à l'infini, et aussi beaucoup de points récurrents. L'étude détaillée de cette classe devrait permettre d'obtenir des résultats dans plusieurs directions. Par ailleurs, l'étude de la géométrie des courbes auto-contractantes est un sujet qui a connu des développements plus récents, mais avec des résultats spectaculaires. Il est ici question de faire l'étude fine de ces courbes (par exemple rectifiabilité) et d'étudier leur liens avec les flots de gradients de fonctions convexes. L'étude de ces deux questions différentes en analyse fonctionnelle (lun linéaire, l'autre pas) peuvent être complétées par des questions connexes.

  • Titre traduit

    Dynamics, asymptotic behavior and rectifiability


  • Résumé

    The dynamics of hypercyclic vectors is a topic which has developped rapidly over the last 30 years. There exist a new class, still not well understood, of operators which are not hypercyclic, but which still have wild dynamics. Indeed, operators from this class are such that the orbits of many points of the underlying space go to infinity, but thee are also many recurrent points. A detailed study of this class should allow developments in several directions. On the other hand, the study of self-contracted maps has developped more recently, but spectacular results have been obtained in this direction. The purpose here is to make the detailed study of the geometrical properties of these maps (for instance, their rectifiability) and to study their link with the gradient flows of convex functions. The study of these two different questions of functional analysis can be completed by connected topics.