Structures mathématiques dans leurs rapports à la physique, études de leur enseignement en mathématiques et en physique à l'université, interdisciplinarité

par Nathan Lombard

Projet de thèse en Mathématiques et Modélisation

Sous la direction de Thomas  Hausberger.

Thèses en préparation à Montpellier , dans le cadre de École Doctorale Information, Structures, Systèmes , en partenariat avec IMAG - Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (laboratoire) et de DÉMa Didactique et Épistémologie des Mathématiques (equipe de recherche) depuis le 30-09-2019 .


  • Résumé

    On parle parfois de mathématiques appliquées, par opposition aux mathématiques pures, lorsque les mathématiques rencontrent un autre champs auxquelles elles s'appliquent en tant qu'outil, a priori dans un rapport d'extériorité. Or les relations entre les mathématiques et la physique sont perçues par un grand nombre de physiciens comme un rapport non d'extériorité mais d'intériorisation des mathématiques au sein de la physique : on ne peut pas penser la physique sans user des structures mathématiques, sans penser par les mathématiques. Réciproquement, l'histoire de la mathématisation de la physique se traduit par l'avènement de nouvelles structures mathématiques, fertiles du point de vue du formalisme (c'est-à-dire des conséquences logiques des systèmes axiomatiques qui les définissent) et qui, bien qu'étudiées pour elle-même par les mathématiciens, continuent de se développer en croisant des questionnement et des enjeux intra et extra-mathématiques, dans de subtiles articulations entre syntaxe et sémantique. Un exemple particulièrement intéressant, qui fera l'objet d'études épistémologiques et didactiques approfondies dans cette thèse, est le cas de la mécanique quantique, laquelle met en jeu divers formalismes (celui de la fonction d'onde, des matrices de Heisenberg et celui de Dirac). Alors que Hilbert avait introduit les espaces l² et L² dans le cas des opérateurs de Fredholm, c'est la motivation de pallier aux limitations des précédents formalismes et d'unifier les points de vue matriciel et fonctions d'onde qui a conduit von Neumann à développer une théorie abstraite des espaces de Hilbert (Scholte & Schneider, 2011). Du point de vue de l'enseignement, poser les rapports des pratiques mathématiques et physique nécessite de prendre en compte différents phénomènes de transposition : la transposition didactique (Chevallard, 1985) des savoirs savants aux savoirs enseignés dans chacune des deux disciplines, ainsi que les transpositions qui résultent des circulations entre les savoirs, les problèmes et les méthodes entre les institutions qui élaborent et/ou enseignent les savoirs mathématiques et physique. De tels phénomènes ont été étudiés par Castela et Romo Vázquez (2011) dans le cas de la formation des ingénieurs et de la transformée de Laplace appliquée à l'automatique, en appui sur la Théorie Anthropologique du Didactique (Chevallard, 1992). Il en résulte diverses conséquences pour l'enseignement et les apprentissages. D'une part, la transposition didactique a tendance à produire une dé-historisation des savoirs, particulièrement en mathématiques, ce qui dissocie les structures mathématiques des questionnements, souvent interdisciplinaires, qui les ont vu naître. Ce phénomène s'accompagne souvent d'une perte de sens pour les étudiants. D'autre part, les transpositions qui résultent de l'application des mathématiques dans les filières d'enseignement de la physique sont soumises à un ensemble de conditions et de contraintes : par exemple, la structure du curriculum organisé en filières et l'économie de la connaissance, laquelle impose la mutualisation de modules d'enseignement tels que l'algèbre linéaire dans les premières années de licence, habituellement enseignée par les mathématiciens. Les étudiants sont alors confrontés à un choc de culture (lié aux différences entre les épistémologies des mathématiciens et physiciens) et aux difficultés de développer la réflexivité et flexibilité cognitive nécessaires afin d'être à même d'appliquer ces connaissances dans le contexte de la mécanique quantique, enseignée par les physiciens (Wawro et al., 2017). Partant d'une étude épistémologique des rapports entre mathématiques et physique dans le cas de notions ou théories qui, comme la mécanique quantique, mobilisent des structures mathématiques enseignées en mathématiques et en physique, l'objectif de cette thèse est d'analyser les phénomènes de transposition qui se manifestent et leurs conséquences pour les apprentissages. Des études comparatives pourront être menées entre un enseignement des espaces de Hilbert dans les cursus de mathématiques et un enseignement de ce formalisme par les physiciens, en lien avec un cours de mécanique quantique. Des ingénieries seront élaborées dans le but de tirer parti d'une approche plus interdisciplinaire de l'enseignement-apprentissage de ces notions et structures, par exemple dans le cadre de la formation des enseignants dans des contextes de bi-disciplinarité, ou dans le cas de l'enseignement des espaces de Hilbert et de la mécanique quantique dans les cursus de mathématiques et de physique, à la transition entre licence et master. Des résultats sont attendus sur la compréhension des dimensions institutionnelles des rapports entre disciplines (les mathématiques et la physique) et notamment les phénomènes de transposition, sur la conceptualisation des structures mathématiques abstraites en appui sur une dimension sémantique provenant de la rencontre de deux champs disciplinaires, sur l'articulation entre syntaxe et sémantique dans les raisonnements menés sur ces structures. Les études épistémologiques et didactiques déboucheront sur des propositions curriculaires. Du point de vue des cadres théoriques didactiques de l'étude, cette recherche pourra s'appuyer sur la notion de transposition et sur les éléments de « didactique du structuralisme mathématique » posés par Hausberger (2016, 2017, 2018) dans ses travaux sur l'algèbre abstraite, notamment les différentes dialectiques épistémologiques concret/abstrait, objets/structures, syntaxe/sémantique, définitions/preuves, les outils sémiotiques, la notion de praxéologie structuraliste et l'idée de phénoménalité des structures mathématiques héritée de Freudenthal (1983). La méthodologie de l'étude inclura un travail bibliographique autour de la littérature en histoire, philosophie et didactique des mathématiques et de la physique, une étude d'épistémologie contemporaine sur la base d'interviews, l'étude de corpus de supports de cours et de travaux d'étudiants, des observations de classes, des expérimentations en laboratoire (sur des étudiants sélectionnés, en dehors de la classe) et in vivo (en classe), en collaboration avec des mathématiciens et des physiciens. Bibliographie : Castela, C. & Romo Vázquez, A. (2011). Des mathématiques à l'automatique : étude des effets de transposition sur la transformée de Laplace dans la formation des ingénieurs. Recherches en Didactique des Mathématiques, 31(1), 79-130. Chevallard, Y. (1985). La transposition didactique, du savoir savant au savoir enseigné (2nd ed. 1991). Grenoble : La Pensée Sauvage. Chevallard, Y. (1992). Fundamental concepts in didactics: perspectives provided by an anthropological approach. In R. Douady & A. Mercier (Eds.) Research in Didactique of Mathematics, selected papers (pp.131-167). Grenoble: La Pensée Sauvage. Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures. Dordrecht : Reidel. Hausberger T (2018) Structuralist Praxeologies as a Research Program on the Teaching and Learning of Abstract Algebra. Int J Res Undergrad Math Ed 4(1):74-93. Hausberger, T. (2017). La dialectique objets-structures comme cadre de référence pour une étude didactique du structuralisme algébrique. Education et Didactique, 11(2), 131-151. Hausberger, T. (2016). Abstract algebra, mathematical structuralism and semiotics. In K. Krainer & N. Vondrová (Ed.), Proceedings of the Ninth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education. Prague: Faculty of Education, Charles University, 2145-2151. Scholte, K.-H. & Schneider M. (eds.) (2011). Mathematics meets physics. A contribution to their interaction in the the 19th and the first half of the 20th century. Verlag Harri Deutsch. Wawro, M., Watson, K., & Christensen, W. (2017). Meta-representational competence with linear algebra in quantum mechanics. Paper presented at the 10th Congress of European Research in Mathematics Education, Dublin, Ireland. In T. Dooley & G. Gueudet, (Eds.), Proceedings of the Tenth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 2282-2289), Dublin, Ireland: DCU Institute of Education and ERME.

  • Titre traduit

    Mathematical structures in their relationship with physics, studies of their teaching in mathematics and physics at university, interdisciplinarity


  • Résumé

    We sometimes speak of applied mathematics, as opposed to pure mathematics, in contexts when mathematics meets another field to which it is applied as a tool, a priori in a relationship of externality. In fact, the relations between mathematics and physics are perceived by a large number of physicists as a relation not of exteriority but of internalization of mathematics within physics: one can not think in physics without using mathematical structures, without thinking through mathematics. Reciprocally, the history of the mathematization of physics results in the advent of new mathematical structures, fertile from the point of view of formalism (that is, the logical consequences of the axiomatic systems that define them) and which, although studied for themselves by mathematicians, continue to developed by crossing both intra and extra-mathematical questions and issues that are tackled using subtle articulations between syntax and semantics. A particularly interesting example, which will be the subject of in-depth epistemological and didactic studies in this PhD thesis, is the case of quantum mechanics, which involves various formalisms (that of the wave function, Heisenberg matrices and that of Dirac). Whereas Hilbert introduced the spaces l² and L² in the case of Fredholm's operators, it is the motivation to overcome the limitations of the previous formalisms and to unify the matrix and wave functions points of view that led von Neumann to develop an abstract theory of Hilbert spaces (Scholte & Schneider, 2011). From the point of view of teaching, the investigation of mathematical and physical practices requires to take into account different phenomena of transposition: the didactic transposition (Chevallard, 1985) of the scholarly knowledge to the knowledge taught in each of the two disciplines, as well as the transpositions resulting from circulations between knowledge, problems and methods between institutions that develop and / or teach mathematics and physics. Such phenomena have been studied by Castela and Romo Vázquez (2011) in the case of the training of engineers and the Laplace transform applied to automatics, in support of the Anthropological Theory of Didactics (Chevallard, 1992). This has various consequences for teaching and learning. On the one hand, didactic transposition tends to produce a de-historization of knowledge, particularly in mathematics, which dissociates mathematical structures from the often interdisciplinary questions and problems that gave rise to them. This phenomenon is often accompanied by a loss of meaning for students. On the other hand, the transpositions that result from the application of mathematics in the teaching of physics are subject to a set of conditions and constraints: for example, the structure of the curriculum organized in disciplinary tracks and the economy of knowledge, which requires the mutualisation of teaching modules such as linear algebra in the first years of bachelor's degree, usually taught by mathematicians. The students are then confronted with a culture shock (linked to the differences between the epistemologies of mathematicians and physicists) and the difficulties of developing the necessary reflexivity and cognitive flexibility in order to be able to apply this knowledge in the context of quantum mechanics courses, taught by physicists (Wawro et al., 2017). Starting from an epistemological study of the relationships between mathematics and physics in the case of notions or theories which, like quantum mechanics, mobilize mathematical structures taught in mathematics and physics courses, the objective of this thesis is to analyze the phenomena of transposition and their consequences for learning. Comparative studies may be conducted between the teaching of Hilbert spaces in mathematics curricula and the teaching of this formalism by physicists, in connection with a course in quantum mechanics. Didactical engineerings will be developed to experiment more interdisciplinary approaches to the teaching-learning of these concepts and structures, for example in the context of teacher training in bi-disciplinary contexts, or in the case of the teaching of Hilbert spaces and quantum mechanics in the mathematics and physics curricula at the transition between bachelor and master programmes. New results are expected on the understanding of the institutional dimensions of the relationships between disciplines (mathematics and physics) and in particular the transposition phenomena, on the conceptualization of abstract mathematical structures in support of a semantic dimension coming from the meeting of two disciplinary fields, on the articulation between syntax and semantics in the reasoning of these structures. Epistemological and didactic studies will lead to curricular proposals. From the point of view of the didactic theoretical frameworks of the study, this research will rely on the notion of transposition and on the elements of 'didactics of mathematical structuralism' developed by Hausberger (2016, 2017, 2018) in his work on abstract algebra, including the various epistemological dialectics (concrete / abstract, objects / structures, syntax / semantics, definitions / proofs), semiotic tools, the notion of structuralist praxeology and the idea of phenomenology of mathematical structures inherited from Freudenthal (1983). The methodology of the study will include a bibliographical work around the academic research literature in history, philosophy and didactics of mathematics and physics, a study of contemporary epistemology based on interviews, the study of a corpus of course materials and students' work, class observations, laboratory experiments (on selected students, outside the classroom) and in vivo (in class), in collaboration with mathematicians and physicists. References : Castela, C. & Romo Vázquez, A. (2011). Des mathématiques à l'automatique : étude des effets de transposition sur la transformée de Laplace dans la formation des ingénieurs. Recherches en Didactique des Mathématiques, 31(1), 79-130. Chevallard, Y. (1985). La transposition didactique, du savoir savant au savoir enseigné (2nd ed. 1991). Grenoble : La Pensée Sauvage. Chevallard, Y. (1992). Fundamental concepts in didactics: perspectives provided by an anthropological approach. In R. Douady & A. Mercier (Eds.) Research in Didactique of Mathematics, selected papers (pp.131-167). Grenoble: La Pensée Sauvage. Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures. Dordrecht : Reidel. Hausberger T (2018) Structuralist Praxeologies as a Research Program on the Teaching and Learning of Abstract Algebra. Int J Res Undergrad Math Ed 4(1):74-93. Hausberger, T. (2017). La dialectique objets-structures comme cadre de référence pour une étude didactique du structuralisme algébrique. Education et Didactique, 11(2), 131-151. Hausberger, T. (2016). Abstract algebra, mathematical structuralism and semiotics. In K. Krainer & N. Vondrová (Ed.), Proceedings of the Ninth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education. Prague: Faculty of Education, Charles University, 2145-2151. Scholte, K.-H. & Schneider M. (eds.) (2011). Mathematics meets physics. A contribution to their interaction in the the 19th and the first half of the 20th century. Verlag Harri Deutsch. Wawro, M., Watson, K., & Christensen, W. (2017). Meta-representational competence with linear algebra in quantum mechanics. Paper presented at the 10th Congress of European Research in Mathematics Education, Dublin, Ireland. In T. Dooley & G. Gueudet, (Eds.), Proceedings of the Tenth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 2282-2289), Dublin, Ireland: DCU Institute of Education and ERME.