Contributions à la théorie dimensionnelle des ensembles et mesures auto-affines en loi

par Guilhem Brunet

Projet de thèse en Doctorat mathematiques

Sous la direction de Julien Barral.

Thèses en préparation à Paris 13 , dans le cadre de École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) depuis le 11-07-2019 .


  • Résumé

    La géométrie fractale, qui entretient des liens étroits avec la théorie ergodique et la théorie des probabilités, est un sujet très dynamique à l’échelle internationale. Un grand intérêt se porte naturellement sur les ensembles et mesures auto-similaires ou auto-affines. Le cadre aléatoire a été beaucoup étudié s’agissant des ensembles autosimilaires en loi, mais peu est connu dans le cas auto-affine en loi qui fera l’objet de cette thèse, plus spécifiquement consacrée aux ensembles de type ‘tapis’ (dans R^2) ou ‘éponges’ (en dimension supérieure) pour lesquels des développement récents touchant à la fois aux cadres déterministe et aléatoire rendent possibles de nouvelles avancées. La motivation de cette thèse provient d’une part d’un résultat spectaculaire récent dû à Dan et Simmons affirmant que pour certains répulseurs non conformes, de type éponge de Baranski dans les espaces euclidiens de dimension au moins 3, leur dimension de Hausdorff n’est pas égale comme c’est le cas en dimension 2 à leur dimension dynamique, et d’autre part d’un travail de Barral et Feng où l’on parvient à développer une théorie dimensionnelle des éponges de Sierpinski auto-affines en loi en dimension au moins 3 également; leur structure est bien plus riche que celle de leur version déterministe. On souhaite maintenant, en commençant par la dimension 2, traiter le cas des tapis et éponges de type Baranski auto-affines en loi, structurellement plus complexes encore. On s’intéressera également naturellement à l’analyse multifractale des mesures auto-affines en loi (ou mesures de Mandelbrot) sur ce type de tapis. Là, le terrain est vierge dans le cas aléatoire, et n’est compris dans le cas déterministe que pour les tapis de Sierpinski. On commencera donc naturellement par le cas des mesures de Mandelbrot sur un tapis de Sierpinski auto-affine.


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