Structures projectives méromorphes, opers et monodromie

Meromorphic projective structures, opers and monodromy

• Auteur / Autrice : Titouan Sérandour
• Direction : Frank Loray
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 15/12/2022
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : Mathématiques et Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)
• Jury : Président / Présidente : Lucia Di Vizio
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Serge Cantat, Bertrand Deroin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Tom Bridgeland, Sorin Dumitrescu

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de modules

Connexions (mathématiques)

Feuilletages (mathématiques)

Matrices de Stokes

Groupes de monodromie

Riemann, Surfaces de

Mots clés libres

Riemann, Surfaces de

Groupes de monodromie

Matrices de Stokes

Feuilletages (mathématiques)

Connexions (mathématiques)

Espaces de modules

Riemann surfaces

Monodromy groups

Stokes matrices

Foliations (Mathematics)

Connections (Mathematics)

Moduli spaces

Résumé

Les structures projectives complexes considérées dans cette thèse sont des courbes compactes localement modelées sur CP¹. À un tel objet géométrique, modulo isomorphisme, l’application de monodromie associe un objet algébrique : une représentation de son groupe fondamental dans PGL(2;C), modulo conjugaison. Cette correspondance n’est ni surjective, ni injective. Néanmoins, c’est un difféomorphisme local (Hejhal, 1975). Nous généralisons ce théorème aux structures projectives admettant des pôles – sans singularité apparente et à résidus fixés – et déduisons que l’application de monodromie correspondante est un biholomorphisme local. Une telle structure projective détermine un unique PGL(2;C)-oper méromorphe à diviseur des pôles minimal sur la courbe complexe sous-jacente. Les PGL(2;C)-opers peuvent être définis comme classes d’équivalence de GL(2;C)-opers, et nous montrons que ces derniers peuvent être plongés dans un espace de modules lisse de connexions linéaires de rang 2 paraboliques. La correspondance de Riemann-Hilbert irrégulière devient alors un ingrédient essentiel de notre travail. Nous construisons une famille analytique de PGL(2;C)-opers et utilisons les déformations isomonodromiques (et iso-Stokes) ainsi qu’un argument de transversalité à la Ehresmann pour conclure à l’injectivité locale de l’application de monodromie.

The complex projective structures considered is this thesis are compact curves locally modeled on CP1. To such a geometric object, modulo isomorphism, the monodromy map associates an algebraic one: a representation of its fundamental group into PGL(2;C), modulo conjugacy. This correspondence is neither surjective nor injective. Nonetheless, it is a local diffeomorphism (Hejhal, 1975). We generalize this theorem to projective structures admitting poles – without apparent singularity and with fixed residues – and deduce that the corresponding monodromy map is a local biholomorphism. Such a projective structure determines a unique meromorphic PGL(2;C)-oper with minimal polar divisor on the underlying complex curve. PGL(2;C)-opers can be defined as equivalence classes of GL(2;C)-opers, which we show can be embedded into a smooth moduli space of parabolic rank 2 linear connections. The irregular Riemann-Hilbert correspondence then turns out to be a key ingredient in our work. We construct an analytic family of PGL(2;C)-opers and use isomonodromic (and iso-Stokes) deformations together with an Ehresmann transversality argument to show the local injectivity of the monodromy map.