Méthodes cinétiques appliquées à l'étude de certains comportements collectifs

par Valentin Ayot

Projet de thèse en Mathématiques Pures

Sous la direction de Philippe Thieullen et de Stephane Brull.

Thèses en préparation à Bordeaux , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique , en partenariat avec IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux (laboratoire) et de EDP et Physique Mathématique (equipe de recherche) depuis le 23-08-2019 .


  • Résumé

    L'objectif général de la thèse est de développer et d'étudier des problèmes de dynamique collective par des modèles cinétiques. Les modèles cinétiques interviennent classiquement dans des problèmes de dynamique des gaz raréfiés, de physique des plasma, et des semi-conducteurs. L'étude des phénomènes d'auto-organisation est un domaine récent et en pleine expansion. Dans ce cadre, chaque « particule » est considérée comme un agent actif cherchant à se coordonner avec l'ensemble des autres agents. On peut citer comme type de dynamique collective, l'évolution d'un essaim, la congestion d'un trafic, ou la production de richesse ou de connaissance. Différents modèles ont été proposés : Couzin-Vizcsek, Cucker-Smale (1), pour décrire des comportements collectifs d'individus par alignement de leur vitesse, Kuramoto, Winfree, pour décrire des phénomènes d'auto-organisation d'oscillateurs couplés. Le point de départ est un modèle décrit par un grand nombre d'agents en interaction évoluant dans un champ de force telle qu'une force de confinement, d'attraction-répulsion. Le passage à la limite, dit en champ moyen, permet de remplacer le modèle discret en un continuum d'agents décrit par une unique fonction densité d'individus (3) et (6). Les équations ainsi obtenu sont de type Boltzmann, mais présentant des différences notables : le champ de vecteur dans l'équation de transport est de type intégro-différentielle faisant intervenir la densité, l'opérateur de collision est simplement réduit à un opérateur de diffusion.

  • Titre traduit

    Kinetic models applied to some collective dynamics behaviors


  • Résumé

    The goal of this thesis is to develop and to study some problems of collective behaviors by using kinetic models. Kinetic models appear classically in problems of gas dynamics, plasma physics, and semi-conductors. The study of self-organized phenomena is a recent and growing domain. In this framework each “particle” is considered as an active agent trying to coordinate with other agents. One can quote as examples of collective dynamics: swarm evolution, trafic congestion, wealth or knowledge production. Different models have been presented: Couzin-Vizcsek, Cucker-Smale (1), in order to describe collective behaviors of individuals by aligning their velocities, Kuramoto, Winfree, to describe self-organization phenomena of coupled oscillators. The starting point is given by a large number of agents interacting in a force field such as a confinement force or an attraction-repulsion force. The limit model when the number of agents tends to infinity, so called mean-field limit, enables to replace the discrete model to a continuum of agents described by a unique density function of individuals (3) and (6). The equations thus obtained are of Boltzmann type, but presenting significant differences: the vector field on the transport equation is of integro-differential type involving the density, the collision operator is simply reduced to a diffusion operator.