Étude de la stabilité de deux systèmes multidimensionnels

par Ronan David

Thèse de doctorat en Automatique

Sous la direction de Olivier Bachelier et de Nima Yeganefar.


  • Résumé

    Ce travail présente les résultats de recherches sur la stabilité de deux systèmes multidimensionnels (aussi appelés systèmes nD), à savoir les modèles de Fornasini-Marchesini et Roesser. L’objectif principal est d’analyser différentes notions de stabilités, précisément les notions de stabilité asymptotique, stabilité structurelle et stabilité exponentielle et de généraliser ces notions du cas 1D au cas 2D. Le premier chapitre du mémoire est donc l’occasion de rappeler les définitions utilisées dans le cas 1D, mettre en évidence les liens entre ces définitions et faire un bilan des différentes généralisations de ces définitions au cas 2D dans la littérature. Le deuxième chapitre présente des résultats techniques sur les solutions des modèles de Fornasini-Marchesini dans le cas linéaire discret. Ces résultats seront ensuite utilisés dans le troisième chapitre pour démontrer les principaux résultats de cette thèse : la stabilité exponentielle et la stabilité structurelle, elles impliquent la stabilité asymptotique mais un contre-exemple montre que la stabilité asymptotique n’est pas équivalente aux deux autres. Le quatrième chapitre introduit le concept de contrôle et propose en utilisant des approches algébriques de construire une commande sur un système de Fornasini-Marchesini en utilisant l’équivalence algébrique des deux modèles étudiés. Enfin, le dernier chapitre aborde les modèles 2D continus de Roesser, très peu étudiés dans la littérature et analyse le problème de l’existence et l’unicité des solutions.

  • Titre traduit

    Stability analysis of two multidimensional systems


  • Résumé

    We present several results on stability questions related to two different multidimensional systems (also called nD models). The two models analyzed are the 2D Fornasini-Marchesini and Roesser models, mainly in the discrete case. The principal objective is to study three different notions of stability - asymptotic stability, exponential stability and structural stability – and to generalize these notions from the 1D to the 2D case. The first chapter is therefore devoted to a summary of the existing results in the 1D case, focusing on the relationships between these definitions, and introducing a few extensions of these definitions to the 2D case one can find in the literature. The second chapter presents technical results on the solutions of the Fornasini-Marchesini model in the discrete linear case. They will be used in the third chapter to introduce the main results : exponential and structural stability are equivalent, they both imply asymptotic stability but using a counterexample we can show that asymptotic stability does not imply the two others. The fourth chapter introduce the concept of control and explain how using algebraic tools and a notion of algebraic equivalency, one can control the Roesser model and find an equivalent control for the Fornasini-Marchesini model. Finally, the last chapter studies the problem of existence and unicity of the solutions of a continuous Roesser model.