Sur le produit de codes correcteurs d'erreurs linéaires

par Diego Mirandola

Thèse de doctorat en Mathématiques Pures

Sous la direction de Gilles Zemor et de Ronald Cramer.

Thèses en préparation à Bordeaux en cotutelle avec l'Université de Leyde (Leiden) , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde) , en partenariat avec Institut de mathématiques de Bordeaux (laboratoire) depuis le 01-09-2012 .


  • Résumé

    Le produit CD de deux codes C et D est défini comme l'espace vectoriel engendré par tous les éléments de la forme xy, où x appartient à C, y appartient à D et le produit est effectué composante par composante. Le carré C^2 d'un code C est naturellement défini comme le produit de C par soi-même. Tout au long des derniers quarante ans, ces notions sont apparues dans plusieurs domaines différents, comme la cryptographie, la théorie de la complexité, la combinatoire additive et la cryptanalyse. Nous montrons trois résultats principaux et discutons de leurs applications à la cryptographie. Nos méthodes sont typiquement de nature algébrico-combinatorielle, mais parfois des techniques probabilistiques seront impliquées. Notre but principal est de répondre à la question suivante : le carré d'un code, remplit-il ``typiquement'' l'espace entier ? Nous donnons une réponse affirmative, pour des codes de dimension k et longueur à peu près k^2/2 ou inférieure. De plus, la vitesse de convergence est exponentielle si la différence k(k+1)/2-n est au moins linéaire en k. La preuve utilise du codage aléatoire et des arguments combinatoires, avec des outils algébriques qui impliquent le calcul précis du nombre de formes quadratiques de rang donné, et le nombre de leurs zéros. Comme conséquence de ce travail, il résulte impossible de compter sur les codes aléatoires dans des situations où les propriétés du carré d'un code sont nécéssaires, car celui-ci sera l'espace entier - donc trivial - avec grande probabilité. Ceci a un impact, par exemple, sur le secret réparti : il est connu que les schémas de secret réparti linéaires non multiplicatifs avec privacy et paramètres de reconstruction optimaux, ils peuvent être construits en utilisant des codes aléatoires ; cependant, à cause de nos résultats, ces schémas ne seront très probablement pas arithmétiques. Notre deuxième résultat caractérise les paires de codes linéaires Produit-MDS, c'est-à-dire les paires de codes C,D dont le produit composante par composante a distance minimale la plus grande possible en fonction de la longueur du code et des dimensions dim C, dim D. En particulier, nous prouvons que pour C=D, si le carré du code C a distance minimale au moins 2 et (C,C) est une paire Produit-MDS, alors soit C est un code de Reed-Solomon généralisé, soit C est une somme directe de codes autoduaux. La preuve est basée sur des nouveaux résultats de théorie des codes, analogues aux théorèmes classiques de combinatoire additive, notamment ceux de Kneser et de Vosper. Plus récemment, ces techniques ont été utilisées pour montrer que, parmi tous les schémas t-fortement multiplicatifs de secret réparti entre n joueurs, seulement le schéma de Shamir peut atteindre le t=(n-1)/3 optimal. Enfin, nous nous concentrons sur une question fondamentale, qui à notre connaissance est nouvelle. Le secret réparti linéaire multiplicatif est une notion fondamentale dans le domaine du calcul sécurisé à plusieurs participants et, depuis peu, dans le domaine de la cryptographie à deux participants aussi. En bref, cette notion guarantit que ``le produit de deux secrets est obtenu comme une fonction linéaire du vecteur qui consiste en le produit composante par composante des deux vecteurs de partage respectifs. Supposons d'abandonner la condition de linéarité et de demander plutôt que ce produit soit obtenu par une ``fonction de reconstruction du produit'' pas forcément linéaire. La notion résultée, est-elle équivalente au secret réparti linéaire ? Nous montrons le résultat (peut-être quelque peu contre-intuitif) que cette notion relaxée est strictement plus générale. Concrétement, fixons un corps fini comme corps de base sur lequel le secret réparti est considéré. Alors nous montrons qu'il existe un schéma de secret réparti linéaire (exotique) avec un nombre illimité de joueurs n, tel qu'il a t-privacy avec t = Omega(n) et tel qu'il admet une fonction de reconstruction du produit, mais cette fonction est nécessairement non linéaire. En outre, nous déterminons le nombre minimum de joueurs pour lesquels ces schémas exotiques existent. Notre preuve est basée sur des arguments combinatoires qui impliquent les formes quadratiques. Elle s'étend à des résultats de séparation pour des variations importantes, tels que le secret réparti fortement multiplicatif.

  • Titre traduit

    on products of linear error correcting codes


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