Modèles stochastiques d'épidémies en espace discret et continu : loi des grands nombres et fluctuations

Stochastic epidemic models in discrete and continuous space : law of large numbers and fluctuations

• Auteur / Autrice : Ténan Yeo
• Direction : Etienne Pardoux, Modeste N’Zi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 16/12/2019
• Etablissement(s) : Aix-Marseille en cotutelle avec Université Félix Houphouët-Boigny (Abidjan, Côte d'Ivoire)
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M) (Marseille, Luminy) (2014-....)
• Jury : Président / Présidente : Thierry Gallouët
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ovidiu Radulescu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Michèle Thieullen, Arnaud Debussche

Mots clés

Mots clés contrôlés

Grandes déviations

Loi des grands nombres

Épidémies

Processus stochastiques

Mots clés libres

Modèle déterministe

Modèle stochastique

Spatiale

Loi des grands nombres

Théorème central limite

Déviations modérées

Grandes déviations

Temps d'extinction

Deterministic model

Stochastic model

Spatial

Law of large numbers

Central limit theorem

Moderate deviations

Large deviations

Time of extinction.

Résumé

Le but de cette thèse est d'étudier les modèles stochastiques d'épidémies en tenant compte de la structure spatiale de l'environnement. Dans un premier temps, nous considérons un modèle déterministe et stochastique SIR sur une grille de [0,1]^d, d=1,2 ou 3. D'une part, on prouve qu'en fixant le pas de la grille et en faisant tendre la taille de la population en chaque point de la grille vers l'infini, le modèle stochastique converge vers le modèle déterministe sur la grille. Ce système déterministe d'équations différentielles ordinaires converge vers un système d'équations aux dérivées partielles quand le pas de la maille tend vers zéro. D'autre part, on fait tendre en même temps la taille de la population en chaque point vers l'infini et le pas de maillage vers zéro, avec une restriction sur la vitesse de convergence entre les deux paramètres. Dans ce cas le modèle stochastique converge vers le modèle déterministe en espace continu. Le chapitre 2 étudie dans le cas d=1 les fluctuations du modèle stochastique autour de sa limite loi des grands nombres, à l'aide d'un théorème central limite. Dans le chapitre 3, nous étudions la dynamique de maladie infectieuse au sein d'une population répartie sur un nombre fini d'îlots interconnectés, dans le cadre d'un modèle SIS. A l'aide du théorème central limite, des déviations modérées et des grandes déviations, on donne une estimation du temps mis par les perturbations aléatoires pour éteindre une situation endémique. Nous calculons numériquement le quasi-potentiel qui apparaît dans l'expression du temps d'extinction, que l'on compare avec celui du cas homogène

The aim of this thesis is to study stochastic epidemic models taking into account the spatial structure of the environment. Firstly, we consider a deterministic and a stochastic SIR model on a regular grid of [0,1]^d, d=1, 2 or 3. On the one hand, by letting first the size of the population on each node go to infinity and the mesh size of the grid is kept fixed, we prove that the stochastic model converges to the deterministic model on the spatial grid. This system of ordinary differential equations converges to a system of partial differential equations as the mesh size of the grid goes to zero. On the other hand, we let both the population size go to infinity and the mesh size of the grid go to zero with a restriction on the the speed of convergence between the two parameters. In this case, we show that the stochastic model converges to the deterministic model in the continuous space. Next, we study, in the case d=1, the fluctuations of the stochastic model around its deterministic law of large numbers limit, by using a cental limit theorem. Finally, we study the dynamic of infectious disease within a population distribued on a finite number of interconnected patches. We place ourselves in the context of an SIS model. By using the central limit theorem, the moderate deviations and the large deviations, we give an approximation of the time taken by the random pertubations to extinct an endemic situation. We make numerical calculus for the quasi-potential which appear in the expression of the time of extinction. Comparisons are made with that of the homogeneous model