Abondance de points rationnels

Abundance of rational points

• Auteur / Autrice : Julian Lawrence Demeio
• Direction : David Harari, Umberto Zannier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 17/12/2021
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay en cotutelle avec Scuola normale superiore (Pise, Italie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Angelo Vistoli
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Daniel Loughran, Olivier Wittenberg, Jean-Benoît Bost
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Daniel Loughran, Olivier Wittenberg

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes algébriques

Géométrie algébrique arithmétique

Points rationnels (géométrie)

Mots clés libres

Points rationnels

Géométrie arithmétique

Groupes algébriques

Rational points

Arithmetic geometry

Algebraic groups

Résumé

Pour une variété algébrique lisse Χ définie sur un corps de nombres Κ, on peut se poser plusieurs questions sur l'abondance de ses points rationnels. En particulier, cette thèse s'intéresse aux trois propriétés suivantes : propriété de Hilbert, l'approximation faible et l'approximation forte. La première concerne plus ou moins la question de l'extension du théorème d'irréductibilité de Hilbert à une Χ arbitraire (par quoi nous entendons que les paramètres du théorème peuvent varier parmi les points rationnels de cette variété), le cas intéressant étant lorsque Χ est non rationnel, car sinon on retrouve précisément le théorème originel de Hilbert. Les deux autres concernent la question de la densité des points rationnels de Χ dans les points adéliques (possiblement en dehors d'ensemble finis de places). L'adjectif “faible” est normalement utilisé pour parler de variétés propres, et l'adjectif “fort" est utilisé autrement. Dans le premier travail original qui fait partie de cette thèse, nous montrons que, sous une hypothèse technique, une surface algébrique Χ propre, avec les points rationnels Zariski-denses, et qui est dotée de deux ou plusieurs fibrations de genre 1, a la propriété de Hilbert. Ce résultat généralise un résultat antérieur de Corvaja et Zannier, qui ont prouvé la propriété de Hilbert pour la surface de Fermat x⁴+y⁴=z⁴+w⁴. La technique utilisée est similaire à la leur, l'idée principale étant de transporter les points rationnels autour de la surface à l'aide des fibres elliptiques des différentes fibrations. Dans la deuxième partie de la thèse, nous montrons que pour tous les espaces homogènes X, sous certaines hypothèses techniques, l'obstruction de Brauer-Manin étale est la seule à l'approximation forte. Cette obstruction est notamment obtenue en appliquant l'obstruction de Brauer-Manin sur tous les torseurs étales finis sur X. Notre preuve est essentiellement une réduction à un théorème de Borovoi et Demarche, qui ont montré que (toujours sous des hypothèses techniques) pour les espaces homogènes avec stabilisateurs connexes l'obstruction de Brauer-Manin est la seule à l'approximation forte. Dans cette partie de la thèse, nous prouvons aussi un résultat de compatibilité, suggéré par des travaux de Cyril Demarche, entre l'accouplement de Brauer et l'application dite d'abélianisation, pour des espaces homogènes de la forme G/H, avec H connexe et linéaire. Enfin, dans la troisième et dernière partie de la thèse, nous explorons le problème de la “descente ramifiée", ou, en d'autres termes, la question de quels points adéliques de X peuvent être relevés à (une désingularisation d'un tordu d') un revêtement (possiblement ramifié) géométriquement intègre et géométriquement de Galois φ:Y⟶X fixé, avec un groupe de Galois géométrique commutatif (bien que dans certaines parties du travail cette hypothèse de commutativité ne soit pas nécessaire). Le cas où le revêtement est non ramifié étant déjà bien étudié, on est intéressé principalement au cas ramifié (d'où la terminologie “descente ramifiée"). Nous prouvons qu'un certain “ensemble de descente", défini naturellement, fournit une obstruction au principe de Hasse et à l'approximation faible sur X (la difficulté principale pour prouver cela réside dans la démonstration que les points rationnels de X qui se trouvent sur le lieu de ramification de φ ne sont pas obstrués). De plus, par analogie avec le cas classique non ramifié, on construit un sous-groupe Bᵩ du groupe de Brauer de X tel que l'ensemble de descente associé à φ se trouve dans l'ensemble de Brauer-Manin associé à Bᵩ. On prouve aussi, à l'aide d'un exemple explicite, que la partie transcendante de Bᵩ peut fournir une obstruction non triviale, contrairement à ce qui se passe dans le cas non ramifié. Il semble raisonnable de s'attendre à ce que le groupe Bᵩ soit la seule obstruction au problème de la “descente ramifiée".

For a smooth algebraic variety X defined over a number field K, one could ask several questions about the abundance of its rational points. This thesis revolves, in particular, around the following three properties: Hilbert Property, weak approximation and strong approximation. The first concerns, more or less, the question of extending the Hilbert Irreducibility Theorem to an arbitrary X (in the sense that the parameters of the Theorem are allowed to vary through rational points of this variety), the interesting case being when X is non-rational, for otherwise one recovers precisely the original theorem of Hilbert. The other two concern the question of density of rational points of X in the adelic ones (possibly with some places removed). The adjective “weak'' is more commonly used when talking about proper varieties, and the adjective “strong'' is used otherwise. In the first original work that is part of this thesis, we prove that, under a technical assumption, a proper algebraic surface X, with Zariski-dense rational points, that is endowed with two or more genus 1 fibrations, has the Hilbert Property. This result generalizes an earlier result of Corvaja and Zannier, who proved the Hilbert Property for the Fermat surface x⁴+y⁴=z⁴+w⁴. The technique used is similar to theirs, the main idea being that of transporting rational points around the surface using the elliptic fibers of the various fibrations. In the second part of the thesis, we prove that on an arbitrary homogeneous space X, under some technical assumptions, the étale-Brauer-Manin obstruction is the only one to strong approximation. This obstruction is obtained by applying the more classical Brauer-Manin obstruction on all finite étale torsors over X. The proof is basically a reduction to a theorem of Borovoi and Demarche, who proved that (again under technical assumptions) strong approximation up to Brauer-Manin obstruction holds on homogeneous spaces with connected stabilizers. In this part of the thesis we also prove a compatibility result, suggested to be true by work of Cyril Demarche, between Brauer pairing and the so-called abelianization map, for homogeneous spaces of the form G/H, with H connected and linear. Finally, in the third and last part of the thesis, we explore the problem of “ramified descent", or, in other words, the question of which adelic points of X may be lifted to (a desingularization of a twist of) a fixed geometrically integral and geometrically Galois cover φ:Y⟶X, with commutative geometric Galois group (although in some parts of the work this commutativity assumption is not needed). The case where the cover is unramified is already well-studied, and, therefore, the interest lies in the ramified case (whence the terminology “ramified descent''). We prove that a certain naturally defined “descent set'' provides an obstruction to Hasse principle and weak approximation on X (the main difficulty in proving this lies in showing that rational points that lie on the branch locus of φ are unobstructed). Moreover, in analogy with the classical unramified case, we construct a subgroup Bᵩ of the Brauer group of X such that the the descent set associated to Bᵩ lies in the Brauer-Manin set associated to Bᵩ. Interestingly enough, the transcendental part of Bᵩ may provide a non-trivial obstruction, contrary to what happens in the unramified case. It seems reasonable to expect that this Bᵩ is the only obstruction to the “ramified descent'' problem.