Analyse de Perturbation des Valeurs Propres pour des Opérateurs Singulières

par Alejandro MartíNez GonzáLez

Projet de thèse en Automatique

Sous la direction de Silviu Niculescu et de Fernando Mendez barrios.

Thèses en préparation à Paris Saclay en cotutelle avec l'Universidad Autónoma de San Luis Potosí , dans le cadre de École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Orsay, Essonne ; 2015-....) , en partenariat avec L2S - Laboratoire des signaux et systèmes (laboratoire) et de Université Paris-Sud (établissement de préparation de la thèse) depuis le 06-02-2018 .


  • Résumé

    Le développement de la théorie des perturbations des valeurs propres et vecteurs propres pour Opérateurs linéaires a été étudié assez et actuellement il bénéficie d'une théorie assez solide. En synonyme, nous considérons un opérateur matriciel, par exemple T de la variable réelle x, suffisamment proche de X = 0, l'opérateur perturbé T (x) il est possible de l'exprimer comme une série de puissances on peut prendre T (0) comme une approximation. Il est bien connu que nous pouvons classer les valeurs propres comme semi-simples, Se rapporte à la valeur propre répétée mais diagonalizable, et aux valeurs propres non semisimples. Dans le premier cas, il est possible d'exprimer la valeur propre comme une série de puissance dans x. Lorsque nous avons le cas non semi-simple, en général, admet une expansion en série sous la forme de séries de Puiseux, c'est-à-dire des séries de puissance fractionnaire. Il existe des résultats qui permettent de calculer des coefficients de premier et second termes de l'expansion de la série. Ces résultats ont récemment été utilisés dans les systèmes d'études de stabilité avec des retards commensurables, en se concentrant sur l'étude du comportement asymptotique des zéros critiques du système, c'est-à-dire des zéros qui sont sur l'axe imaginaire. Ce comportement détermine quand il ya un axe imaginaire de croisement d'un demi-plan à autre, et joue donc un rôle crucial dans la détermination de la stabilité des systèmes de retard. Pour les fonctions matricielles régulières, les valeurs propres de comportement de la fonction matrice dépendent de la structure algébrique de la fonction matrice libre de perturbations (délai par exemple). Nous savons qu'il existe un voisinage de la valeur propre libre de perturbations qui se compose de m, par le théorème de préparation de Weierstrass, série de Puiseux. De plus, nous sommes capables de caractériser les valeurs propres près de x = 0 par sa propriété de division comme Complètement Régulière ou Régulière. Récemment, cela a été étendu au cas de certaines fonctions matricielles singulières. En utilisant les formes canoniques de Weierstrass et de Kronecker, ont obtenu des résultats qui calculent les coefficients du premier ordre et aussi des conditions pour l'existence d'expansions des valeurs propres. L'objectif principal de ce projet est de développer des algorithmes qui permettent d'effectuer une analyse de perturbations pour des fonctions de matrice singulières et leurs applications à la théorie de contrôle. En particulier, l'analyse des perturbations des valeurs propres pour des fonctions matricielles singulières, focalisées sur les propriétés as; D'analyticité et de fractionnement. Un autre objectif est de généraliser l'analyse du comportement asymptotique des zéros critiques des systèmes singuliers avec des retards commensurables. Dans ce cas, les objectifs sont d'obtenir des résultats qui permettent de calculer les coefficients du premier et du second ordre. Etude du comportement asymptotique de la transmission zéro d'un système échantillonné, dans le problème ouvert de zéros multiples.

  • Titre traduit

    Perturbation Analysis of Eigenvalues for Singular Operators


  • Résumé

    The development of perturbations theory of eigenvalues and eigenvectors for linear operators has been quite studied and currently it enjoys a pretty solid theory. In summary we consider a matrix operator, say T of real variable x, sufficiently close to x=0, the perturbed operator T(x) it is possible to express it as a series of powers so that we can take T(0) as an approximation. It is well known that we can classify eigenvalues as semisimple, refers to eigenvalue repeated but diagonalizable, and non-semisimple eigenvalues. In the first case it is possible to expressed the eigenvalue as a power series in x. When we have the non-semisimple case, in general, admits series expansion in form of Puiseux series i.e., fractional power series. There are results that allow to compute coefficients of first and second order term of the series expansion. These results have recently been used in the stability study systems with commensurable delays, focusing on the study of asymptotic behavior of critical zeros of the system, i.e., zeros that are on the imaginary axis. This behavior determines when there is a crossing imaginary axis of a half plane to another, and therefore plays a crucial role in determining stability of delay systems. For regular matrix functions, the behavior eigenvalues of the matrix function depends on the algebraic structure of the matrix function free of perturbations (a delay for example). We know there is a neighborhood of the eigenvalue free of perturbations that consist of m, by the Weierstrass preparation theorem, Puiseux series. Besides, we are able to characterize the eigenvalues near x=0 by its splitting property as Completely Regular or Regular. Recently this has been extended to the case of some singular matrix functions. using the canonical forms of Weierstrass and Kronecker, obtained results that calculate the coefficients of the first order and also conditions for existence of expansions of the eigenvalues. The main objective of this project is focused on developing algorithms that allow us to perform an analysis of perturbations for singular matrix functions and their applications to control theory. In particular, perturbation analysis of eigenvalues for singular matrix functions, focused on properties as; analyticity, and splitting properties. Another goal is generalizing the analysis of asymptotic behavior of the critical zeros of singular systems with commensurable delays. In this case, the objectives are to obtain results that allow us to calculate the coefficients of first and second order. Study the asymptotic behavior of the zeros transmission of a sampled system, in the open problem of multiple zeros.