Etude de l'existence de solutions faibles pour les équations de Navier-Stokes (incompressibles) d'énergie infinie

par Pedro Fernandez

Projet de thèse en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Pierre-gilles Lemarie-rieusset.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) , en partenariat avec LaMME - Laboratoire de Mathématiques et Modélisation d'Evry (laboratoire) , Analyse et Equations aux Dérivées Partielles (equipe de recherche) et de Université d'Évry-Val-d'Essonne (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-10-2018 .


  • Résumé

    L'estimation de fonctionnelles d'énergie pour obtenir un contrôle des approximations de solutions et pouvoir ainsi passer à la limite par un argument de compacité de type Aubin-Lions est une idée qui remonte aux travaux fondateurs de Leray en 1934. Dans l'étude de l'existence de solutions du système de Navier-Stokes incompressible, un rôle clé est joué par l'inégalité d'énergie de Leray. Elle permet de montrer l'existence, pour une donné initiale dans L2, d'une solution faible globale. Il existe une version locale liée à l'existence d'une mesure non-négative localement finie qui satisfait une certain inégalité. Cette inégalité locale a été exploitée en 1995 par Farwig et Sohr pour montrer l'existence de solutions faibles dans le cas du domaine extérieur, en travaillant dans un espace L2 à poids. Les solutions faibles d'énergie infinie ont été introduites par Lemarié-Rieusset en 1999. Cela a permis de montrer l'existence locale de solutions faibles pour une donnée uniformément localement de carré intégrable. D'autres constructions de ces solutions d'énergie infinie à donnée initiale uniformément localement L2 ont été données en 2006 par Basson et en 2007 par Kikuchi et Seregin. Ces solutions ont permis à Jia et Sverak de construire en 2014 des solutions auto-similaires à grandes données régulières (homogènes de degré -1) ; ce résultat a été étendu en 2016 par Lemarié-Rieusset pour des solutions à données localement L2. Remarquons qu'une donnée homogène de degré -1 et localement L2 est automatiquement uniformément localement L2. En 2018, Bradshaw et Tsai ont considéré le cas des solutions autosimilaires pour un sous-groupe discret de dilatations. Une donnée initiale localement L2 n'est plus nécessairement uniformément localement L2 et leurs résultats ne pouvaient plus se baser sur les solutions décrites par Lemarié-Rieusset. Il s'agit d'étendre les résultats de Lemarié-Rieusset à des données dans des espaces L2 à poids, mais d'énergie infinie, où les poids permet étendre les résultats de Lemarié-Rieusset.

  • Titre traduit

    Study on existence of infinite energy weak solutions to the Navier-Stokes (incompressible) equations


  • Résumé

    Estimation of energy functionals to obtain a control of approximations of solutions and thus be able to pass to the limit by an Aubin-Lions type compactness argument is an idea that goes back to the founding work of Leray in 1934. In the study on existence of solutions to the incompressible Navier-Stokes system, a key role is played by the energy inequality of Leray. It allows to show the existence, for an initial data given in L2, of a weak global solution. There is a local version linked to the existence of a locally-finite non-negative measure that satisfies a certain inequality. This local inequality was also exploited in 1995 by Farwig and Sohr to show the existence of weak solutions in the case of the external domain, working in a weighted L2 space. Weak solutions of finite energy were introduced by Lemarié-Rieusset in 1999. This made it possible to show the local existence of weak solutions for a locally uniformly square integrable data. Other constructions of these infinite energy solutions with initial data uniformly locally L2 were given in 2006 by Basson and in 2007 by Kikuchi and Seregin. These solutions enabled Jia and Sverak to build in 2014 self-similar solutions with large regular data (homogeneous of degree -1); this result was extended in 2016 by Lemarié-Rieusset for locally based L2 data solutions. Note that a homogeneous data of degree -1 and locally L2 is automatically uniformly locally L2. In 2018, Bradshaw and Tsai considered the case of self-similar solutions for a discrete subgroup of dilations. An initial data locally L2 is not necessarily uniformly locally L2 and their results could no longer be based on the solutions described by Lemarié-Rieusset. The objective is to extend the results of Lemarié-Rieusset to data in weighted L2 spaces, but of energy infinite, where the weights allows to extend the results of Lemarié-Rieusset.