Asymptotiques en temps petit du contenu thermique en géométrie sous-riemannienne

par Tommaso Rossi

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Luca Rizzi, Andrei Agrachev et de Grégoire Charlot.

Thèses en préparation à l'Université Grenoble Alpes en cotutelle avec SISSA - Internation School for Advanced Studies , dans le cadre de École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique , en partenariat avec Institut Fourier (laboratoire) .


  • Résumé

    La géométrie sous-riemannienne est une classe particulièrement riche de structures métriques, qui généralise la géométrie riemannienne. Une structure sous-riemannienne sur une variété lisse M est définie par un couple (D,g), où g est un produit scalaire lisse défini sur un sous-ensemble de directions admissibles, qui est appelée distribution, et doit satisfaire la condition de Hörmander. Dans ce cas, M est connexe par des courbes horizontales, et la procédure habituelle de minimisation de la longueur donne une métrique bien définie. L'opérateur de Laplace-Beltrami est généralisé par le sous-Laplacien qui est sub-elliptique, mais possède néanmoins des propriétés de régularité appropriées (en particulier, il est hypoelliptique). Dans cette thèse, nous étudions l'asymptotique du contenu thermique et des sujets connexes en géométrie sous-riemannienne. Pour un ensemble ouvert et relativement compact dans M, le contenu thermique est défini comme la quantité totale de chaleur contenue dans l'ensemble au temps t, en supposant que son bord est maintenu à température nulle. Dans le groupe de Heisenberg, qui est l'exemple le plus simple de structure sous-riemannienne, Tyson et Wang ont étudié le comportement à petit temps de cette quantité, prouvant l'existence d'une expansion asymptotique jusqu'à l'ordre 2 en racine carrée de t. Ici, en utilisant une approche différente, nous montrons l'existence d'une expansion asymptotique complète du contenu thermique dans toute variété sous-riemannienne, fournissant également un algorithme pour calculer ses coefficients à tout ordre. Comme dans le cas riemannien, le comportement en temps petit du contenu thermique contient des informations géométriques sur le bord de l'ensemble. Une hypothèse cruciale sur l'ensemble pour développer une expansion asymptotique complète du contenu thermique est l'absence de points caractéristiques. En gros, un point caractéristique est un point de la frontière du domaine (que l'on suppose être un sous-variété lisse de M) où la fonction de distance de la frontière elle-même perd sa régularité. Nous montrons que, si des points caractéristiques sont présents, un nouveau phénomène se produit dans l'expansion asymptotique du contenu thermique. En particulier, l'asymptotique établie en absence de points caractéristiques ne peut plus être vrai à un ordre égal ou supérieur à 5, en général. Ensuite, nous étudions la courbure moyenne horizontale du bord lorsque des points caractéristiques sont présents. Dans le cas du groupe de Heisenberg, nous introduisons la notion de point caractéristique modérément dégénéré, prouvant de nouveaux résultats d'intégrabilité pour la courbure moyenne horizontale des surfaces. Ce résultat, dans le cas de surfaces analytiques dans le groupe de Heisenberg, répond affirmativement à une conjecture formulée par Danielli, Garofalo et Nhieu. Enfin, nous étudions le contenu thermique relatif. Pour un ensemble ouvert et relativement compact dans M, le contenu thermique relatif est défini comme la quantité totale de chaleur contenue dans l'ensemble au temps t, en permettant la chaleur de se propager à l'extérieur du domaine. Des difficultés importantes apparaissent par rapport au contenu thermique ``classique'', car cette fois-ci le comportement au bord de la fonction de température n'est plus connu. Nous utilisons un argument de symétrie ``asymptotique'' de la chaleur pour obtenir des informations sur le comportement en temps petit de la température à la frontière de l'ensemble et nous obtenons une expansion asymptotique à ordre 4 en racine carrée de t.

  • Titre traduit

    Heat content asymptotics in sub-Riemannian geometry


  • Résumé

    Sub-Riemannian geometry is a particularly rich class of metric structures, which generalizes Riemannian geometry, where a smoothly varying metric is defined only on a subset of preferred directions of the tangent space at each point of a smooth manifold M (called horizontal directions). Under the so-called Hörmander condition, M is horizontally-path connected, and the usual length-minimization procedure yields a well-defined metric. The Laplace-Beltrami operator is generalized by the sub-Laplacian which is sub-elliptic, but has nonetheless suitable regularity properties (in particular, it is hypoelliptic). In this thesis, we investigate the heat content asymptotics and related topics in sub-Riemannian geometry. For a domain in M, the heat content is defined as the total amount of heat contained in the domain at time t, assuming that its boundary is kept at zero temperature for all times. In the Heisenberg group, which is the simplest example of sub-Riemannian structure, Tyson and Wang studied the small-time behavior of this quantity, proving the existence of an asymptotic expansion up to order 2 in square root of t. Here, using a different approach, we show the existence of a complete asymptotic expansion of the heat content in any sub-Riemannian manifold, also providing an algorithm for computing its coefficients at any order. As in the Riemannian case, the small-time behavior of the heat content contains geometrical information of the boundary of the domain. A crucial assumption on the domain for developing a complete asymptotic expansion of the heat content is the absence of characteristic points. Roughly speaking, a characteristic point is a point of the boundary of the domain (which is assumed to be a smooth submanifold of M) where the distance function from the boundary itself loses regularity. We show that, if characteristic points are present a new phenomenon occurs in the asymptotic expansion of the heat content. In particular, the latter can no longer be true to order equal to or greater than 5, in general. In addition, we study the horizontal mean curvature of the boundary when characteristic points are present. In the particular case of the Heisenberg group, we introduce the notion of a mildly degenerate characteristic point, proving new integrability results for the horizontal mean curvature of surfaces. This result, in the case of analytic surfaces in the Heisenberg group, answers affirmatively to a conjecture formulated by Danielli, Garofalo and Nhieu. Finally, we study a related, yet different, quantity called the relative heat content. For a domain in M, the relative heat content is defined as the total amount of heat contained in the domain at time t, allowing the heat to flow outside the domain. Significant difficulties emerges, as the boundary behavior of the temperature function is no longer known, as opposed to the case of the classical heat content. We use an asymptotic symmetry argument of the heat diffusion to obtain information on the small-time behavior of temperature at the boundary of the domain and we obtain a fourth-order asymptotic expansion in square root of t.