Asymptotique de la quantité de chaleur en géométrie sous-riemannienne

par Tommaso Rossi

Projet de thèse en Mathématiques

Sous la direction de Grégoire Charlot et de Luca Rizzi.

Thèses en préparation à Grenoble Alpes en cotutelle avec SISSA - Internation School for Advanced Studies , dans le cadre de École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble) , en partenariat avec Institut Fourier (laboratoire) depuis le 14-12-2018 .


  • Résumé

    Dans cette thèse, on s'intéressera à l'asymptotique de la quantité de chaleur en géométrie sous-riemannienne. Cette dernière est une classe particulièrement riche de structures métriques, qui généralise la géométrie riemannienne, définie par la donnée d'une métrique lisse sur un sous-fibré du fibré tangent d'une variété lisse. Voir [Mon, Rif] pour référence. La première étape de cette analyse n'a été effectuée que récemment dans le cadre du groupe d'Heisenberg (l'exemple le plus simple de structure sous-riemannienne), par J. Tyson et collaborateurs [Tys]. La prochaine étape naturelle, qui est le point de départ de cette thèse, est la généralisation au cas d'une structure de contact en dimension 3. Au premier ordre, on s'attend à une formule asymptotique similaire à la formule euclidienne (où une notion appropriée de périmètre sous-riemannien remplace le périmètre euclidien). Sa preuve, déjà dans ce cas simple, nécessitera l'introduction de nouveaux outils techniques (par exemple un théorème du voisinage normal pour les hypersurfaces sous-riemanniennes sans point caractéristique). Plus important encore, au second ordre, on s'attend à ce que les invariants de la structure de contact (découverts dans [Bar]) jouent un rôle important et apparaissent dans cette asymptotique. Un sujet très proche est l'étude de l'asymptotique de la quantité de chaleur dans le cas d'une structure presque riemannienne, des structures riemanniennes dégénérées, introduites dans [Bos]. Même si ces structures ont un volume infini, on s'attend à ce que la quantité de chaleur normalisée soit encore définie.

  • Titre traduit

    Heat content asymptotics in sub-Riemannian geometry


  • Résumé

    In this PhD thesis, we aim to investigate the heat content asymptotics in sub-Riemannian geometry. This is a particularly rich class of metric structures, which generalizes Riemannian geometry, defined by the datum of a smooth metric on a sub-bundle of the tangent bundle of a smooth manifold. The so-called Hormander condition ensures that the resulting metric space is well behaved, and the corresponding subelliptic version of the Laplace-Beltrami operator has suitable regularity properties (in particular, it is hypoelliptic). See [Mon,Rif] for reference. The first step for this analysis has been done only recently in the context of the Heisenberg group, which is the simples example of sub-Riemannian structure, by J. Tyson and cohautors [Tys]. The next natural step, which is the starting point of this PhD thesis, is the generalization to the 3D contact case. At first order, we expect to obtain an asymptotic formula similar to the Euclidean one (where a suitable notion of sub-Riemannian perimeter replaces the standard one). Its proof, already in the 3D case, will require the introduction of new technical tools (such as a normal neighbourhood theorem for sub-Riemannian hypersurfaces with no characteristic points). Most importantly, at second order, we expect the invariants of the 3D contact structure discovered in [Bar] to play an important role, and appear in the expansion. A related topic is the study of the heat content asymptotics in almost-Riemannian geometry. These structures are manifold with infinite volume, introduced in [Bos], and where we expect that a renormalized heat content can be still defined.