Matière active en dimension infinie et calcul stochastique appliqué aux intégrales de chemin.

par Thibaut Arnoulx de pirey saint alby

Thèse de doctorat en Physique (ed 564)

Sous la direction de Frederic Van wijland.

Thèses en préparation à l'Université Paris Cité , dans le cadre de ED 564 Physique en Île-de-France .


  • Résumé

    Ce travail de thèse se divise en deux parties distinctes. La première est consacrée aux systèmes actifs de particules autopropulsées. Nous commençons par étudier le cas d'une particule dans un potentiel. Nous analysons les déviations par rapport à la dynamique d'équilibre de celle d'une particule active propulsée par un processus d'Ornstein-Ulhenbeck (AOUP) à petit temps de persistance et en présence de bruit thermique ainsi que les propriétés stationnaires d'une particule autopropulsées autour d'un obstacle sphérique dans la limite de grand temps de persistance. Nous nous intéressons ensuite aux propriétés collectives de ces systèmes. D'un point de vue analytique, leur compréhension est pour l'instant entravée par leur difficulté intrinsèque qui combine celles des systèmes hors d'équilibre à celles des liquides fortement corrélés. Depuis le milieu des années 1980, nous savons que les fluides d'équilibres peuvent être étudiés analytiquement dans la limite où la dimension de l'espace ambiant devient infinie. Les gains mathématiques sont alors considérables : non seulement l'énergie libre peut être calculée exactement mais aussi les coefficients de transport. Ces idées eurent ensuite une influence majeure dans la théorie de la transition vitreuse en champ moyen. L'objectif ici est d'utiliser la limite de grande dimension dans le cas actif. Nous étudions d'abord les équations de la théorie de champ moyen dynamique dans la limite diluée, ce qui nous permet de quantifier la relation entre le déplacement quadratique moyen et la vitesse effective d'autopropulsion. Pour étudier les propriétés des systèmes actifs au-delà de la limite diluée nous proposons ensuite un schéma approché de resommation de la hiérarchie de Born-Bogolioubov-Green-Kirkwood-Yvon des fonctions de corrélation. Celui-ci permet de rendre compte de nombreuses propriétés observées dans les systèmes actifs de dimension finie, en particulier de la transition de phase induite par la motilité et de la décroissance linéaire de la vitesse effective d'autopropulsion des sphères dures actives avec la densité. Ces travaux nous conduisent à introduire le concept d'amplitude effective des interactions potentielles. Nous montrons alors que celle-ci s'annule à la même densité que la vitesse effective d'autopropulsion qui est aussi la densité de transition vitreuse dynamique d'un système colloïdal d'équilibre de structure équivalente. Ces résultats dressent un parallèle intéressant entre la transition vitreuse des systèmes d'équilibre et l'annulation de la vitesse effective d'autopropulsion des systèmes actifs qui est une propriété de la mesure stationnaire d'un système unique. La spécificité soulignée par cette resommation approchée est la présence d'interactions multicorps dans la mesure stationnaire. Contrairement au cas des liquides classiques d'équilibre, celle-ci ne peut en effet pas s'écrire sous la forme d'un produit sur les paires du système. L'importance de ces interactions multicorps dans le diagramme des phases des systèmes actifs a récemment été soulignée en dimension 3. Nous continuons d'explorer cette idée en dimension infinie en étudiant le diagramme des phases de l'approximation dite de bruit coloré unifié de la dynamique AOUP. Nous montrons que celui-ci présente deux régions de coexistence de phase que les interactions de paires seules ne peuvent expliquer. La deuxième partie de cette thèse porte sur des extensions du calcul stochastique dans les intégrales de chemin et généralise des résultats récemment établis dans le cas de processus unidimensionnels. Après avoir expliqué pourquoi il est en général impossible d'utiliser les règles du calcul stochastique pour changer de variable au sein des intégrales de chemin en temps continu nous montrons comment modifier ces dernières en conséquence. Enfin, nous proposons une discrétisation d'ordre supérieur étendant celle de Stratonovich et rendant utilisable le calcul différentiel au sein des intégrales de chemin.

  • Titre traduit

    Infinite dimensional active matter and stochastic calculus for path integration.


  • Résumé

    The forthcoming work is divided into two distinct parts. The first one deals with self-propelled particles systems. We start by studying the one particle in an external potential case. We derive the nonequilibrium properties of the Active Ornstein-Ulhenbeck Particle model at small persistence time in the presence of thermal noise and the stationary measure of a run-and-tumble particle around a hard spherical obstacle at large persistence time. We then focus on the collective behavior of such systems. From an analytical standpoint, not much is known given their high degree of complexity that combines those of out-of-equilibrium physics to those of strongly correlated liquids. Since the mid-eighties and Frisch's & al. work, we have known that equilibrium fluids can be studied exactly in the limit where the dimension of the embedding space becomes infinite. The mathematical gains are then considerable: not only the free energy can be obtained analytically but also transport coefficients. These ideas later had a groundbreaking influence on the mean-field theory of the glass transition which is naturally expressed in infinite dimension. Here, the goal is to use the large dimension limit to gain theoretical insights into the behavior of active systems. The equations of the dynamical mean field theory are first studied in the dilute limit and we quantify the connections between the mean-square-displacement and the effective propulsion speed. To go beyond the dilute limit, we then propose an approximate resummation scheme of the Born-Bogolioubov-Green-Kirkwood-Yvon hierarchy of correlation functions. The latter allows us to account for various properties observed in finite dimensional systems, in particular for the Motility Induced Phase Separation and for the linear decrease with density of the effective self-propulsion speed of active hard spheres. We also introduce the concept of effective amplitude of potential interactions. We then show that this amplitude vanishes at the same density as the effective propulsion speed which is also that of the dynamical glass transition of an equilibrium colloidal system with equivalent structure. These results draw interesting links between the glass transition of equilibrium systems and the vanishing of the effective self-propulsion speed which is a stationary property of a unique active system. The specificity underlined by this approximate resummation is the presence of multibody interactions in the steady state measure. Unlike its equilibrium counterpart, it cannot be written as a product over the pairs in the system. The importance of these multibody interactions in the phase behavior of active systems was recently demonstrated in dimension 3. We keep exploring this idea by studying the phase diagram of the unified colored noise approximation of the AOUP dynamics. We show that it displays two regions of phase coexistence that the sole pair interactions are unable to account for. The second part of the manuscript deals with the extension of stochastic calculus to path integration and generalizes results recently obtained in the one-dimensional case. After explaining why it is in general impossible to use the rules of stochastic calculus to change variables within continuous time path integrals we show how to modify these rules consequently. We eventually propose a higher-order discretization scheme extending that of Stratonovich and making the rules of standard differential calculus compatible with path integration.