Aspects combinatoires des modèles de gravité quantique

par Matteo Laudonio

Projet de thèse en Informatique

Sous la direction de Adrian Tanasa et de Florian Girelli.

Thèses en préparation à Bordeaux , dans le cadre de Mathématiques et Informatique , en partenariat avec LaBRI - Laboratoire Bordelais de Recherche en Informatique (laboratoire) et de Combinatoire et algorithmiques (equipe de recherche) depuis le 04-09-2018 .


  • Résumé

    Le principe holographique en gravité quantique propose que toute l'information contenue dans un volume d'espace peut être décrite par une théorie qui se situe sur les bords de cette région. Ce principe a été récemment lié aux théories quantiques de champs, car on peut en principe modéliser une théorie à l'intérieur d'un volume par un certain modèle de théorie quantique de champs et, au même temps, on peut aussi modéliser par une autre théorie quantique de champs, différents de la première, la théorie situé les bords. Le principe holographique nous dit donc que les deux théories quantiques de champs serait équivalentes ! Il faut souligner ici qu'un modèle quelconque de théorie quantique de champs contient des aspects combinatoires hautement non-triviales (comme cela été montré par exemple dans les travaux d'Alain Connes (Medaille Fields 1982) et Dirk Kreimer). Les modèles holographique ont été récemment mis en lien direct avec des modèles de théories de champs connu sur le noms de modèles de tenseurs. Les premiers modèles de tenseurs, dans les années ‘90 souffraient de l'absence d'un développement dit en 1/N (qui a permis, en dimension deux, l'étude analytique précise des modèles de matrices aléatoires). En 2010, R. Gurau proposa une modification de ces modèles qui résolut cette problèmes (R. Gurau, Commun. Math. Phys. (2011). Ces nouveaux modèles sont aujourd'hui qualifiés de colorés. Une autre approche, inspirée de la théorie quantique de champs sur l'espace non-commutatif de Moyal, a été proposée dans A. Tanasa, J. Phys. A (2012). Ce nouveau modèle a été appelé multi-orientable. Cela a permis d'obtenir des résultats importants pour les modèles de tenseurs, comme le développement en 1/N donc ou la double limite d'échelle. Dans la limite où N, la taille typique du tenseur, tend vers l'infini, les graphes tensoriels dominants sont les graphes meloniques. Ils codent des triangulations particulières de la sphère, quelque soit la dimension. Du point de vue de la combinatoire, les graphes meloniques sont des graphes séries-parallèles. L'équivalence entre les modèles de tenseurs et les modèles de holographie en gravité quantique provient du fait que les deux modèles ont un développement en 1/N qui est dominé par la même classe de graphes meloniques. La formulation tensorielle de la holographie peut s'avérer plus utile, parce qu'on peut alors utiliser pour son étude les avancées combinatoires des modèles de tenseurs. Cela équivalence représente donc une importante ligne de recherche ! Le modèle initialement proposé par Witten, et qui se base sur le modèle coloré de Gurau, est aujourd'hui connu dans la littérature sous le nom du modèle de Gurau-Witten. Klebanov et Tarnopolsky, Phys. Rev. D (2017) ont proposé ensuite un modèle de tenseurs basé sur le modèle invariant sous O(N), modèle initialement étudié au LABRI dans S. Carrozza et A. Tanasa, Lett. Math. Phys. (2016) et aujourd'hui connu dans la littérature sous le nom du modèle de Carrozza-Tanasa-Klebanov-Tarnopolsky (CTKT). Objectifs de la thèse Le projet de recherche que je propose s'articule autour de l'étude de différentes propriétés combinatoires de ces modèles de holographie. Nous nous proposons ainsi, avec le doctorant choisit, d'obtenir plusieurs résultats, à la fois concernant les modèles dont l'interaction est meloniques, mais aussi sur le développement général des modèles au-delà des interactions meloniques. Ces objectifs concernent principalement l'étude et de la renormalisabilité dans le régime infrarouge (cad le régime des petites énergies) de ces modèles holographiques. Nous allons donc démarrer une étude combinatoire minutieuse de ces modèles holographiques. La principale méthode utilisée à cette étape est l'approche mise recemment en place dans R. Gurau et G. Schaeffer, Annales IHP D Comb. Phys. Inter. (2016). Cette approche purement combinatoire nous permettra de comprendre quels sont les graphes de Feynman qui nous intéressent, à n'importe quel ordre du développement asymptotique en 1/N, à la fois pour le modèle Gurau-Witten et pour le modèle CTKT. À la fin de la thèse étape, nous allons pouvoir comparer les différentes classes de graphes de Feynman présents à différents ordres dans le développement 1/N, ce qui représente un résultat très important pour l'étude de ces modèles holographiques.

  • Titre traduit

    Combinatorics of quantum gravity models


  • Résumé

    Constructing quantum gravity theory is a very hard task ; it is considered as the Holy Grail of modern mathematical physics. The most developed theories are string theory (which led, in the last years to a new, active field of research, called the Anti de Sitter/Conformal Field Theory (ADS/CFT) correspondence) and Loop Quantum Gravity (LQG). Our project relies on the second approach as well as with its relations to random tensor models (seen as natural generalisation, in dimension higher than two, of the celebrated random matrix models, studied extensively by mathematical physicists but also by combinatorists). The definition of the LQG theory relies on the quantum states of space, called spin networks. These are graphs decorated by representations of a (quantum) group (such as SU(2), or SU q (2) according to the model). An important problem of the theory is to recover the classical theory. We expect that the notion of renormalization - that is very important in many physics fields - should be a key tool to understand this problem. This is a difficult but key research topic. It is worth emphasizing here that combinatorics is a key ingredient for renormalization in quantum field theory (as shown for example in the works of A. Connes (Fields Medal 1982) and D. Kreimer). Interactions between A. Tanasa and F. Girelli should provide some new interesting angles of attacks to tackle these difficult problems. The complementarity between the areas of expertise of the two potential PhD co-advisors represents the key ingredient for the originality of this project. The specific project we intend to focus on is twofolded. The first main objective is the combinatorial/renormalization properties of a so-called “group field theory” defined in terms of a quantum group. The second main objective is given by the establishement of new relations between LQG and Tensor Models, in the light of the recently discovered relations between tensor models and the ADS/CFT correspondence (let us emphasize here that these relations between tensor models and the ADS/CFT correspondence have been discovered in 2016 by Ed. Witten (the only physicist beeing awarded the prestigious Fields Medal, in 1990)). Let us now give some details on these topics. A quantum group can be seen as the non-commutative deformation of the standard notion of group. On the other hand a group field theory is a field theory defined on a product of groups. A Feynman graph of group field theory can be interpreted as quantum state of spacetime. A group field theoretical model can also be seen as a special type of tensor model. A. Tanasa has been extensively working in the past on different variations of random tensor models. As a quantum field theory it is natural to ask whether it is renormalizable. When dealing with classical group, a lot of results have been obtained but the case with a quantum group has not been studied yet. Hence the results of this analysis will provide a better understanding of the notion of quantum spacetime when there is a non-zero cosmological constant. (Note that the cosmological constant has been measured to be non-zero, such measurements led to the 2011 Nobel prize.) Tanasa's experience on tensor models, either from the combinatorial or the renormalization point of view will be complemented by Girelli's knowledge of quantum group structures. The second main objective is related to the recently discovered relation between tensor model and a celebrated toy-model in the ADS/CFT physics, the Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) model. As already mentioned above, this correspondence between Tensor Models and the SYK model was discovered in 2016 by Ed Witten. This result led to a new and original field of research. Our task is to define a group field theoretical model which would contain key-features of the ADS/CFTphysics, feature already encoded in the SYK model. This is inspired by the already existing relations between tensor models and group field theory. The expected result would thus lead to new relations between various modern approaches to Quantum Gravity (tensor models, LQG and the ADS/CFT correspondence). When studiyng tensor models, the combinatorial aspect is a crucial one. For example, the correspondence between tensor models and the SYK model was possible because the graphs dominating the so-called large N limit (N being, in the case of tensor models, the size of the tensors), are the same – the so-called melonic graphs, which are, from a combinatorial point of view, series-parrallel graphs.