Opérateurs de Toeplitz et développement de formes de torsion

Toeplitz operators and the full asymptotic torsion forms

• Auteur / Autrice : Qiaochu Ma
• Direction : Xiaonan Ma
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 02/06/2022
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Michel Bismut
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Michel Bismut, Paul-Emile Paradan, Claire Debord, Shu Shen, George Marinescu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nigel Higson, Paul-Emile Paradan

Mots clés

Mots clés contrôlés

Creusement de trous spectraux

Toeplitz, Opérateurs de

Laplacien

Cohomologie

Mots clés libres

Cohomologie

Laplacian

Spectre

Forme de torsion analytique

Operateurs de Toeplitz

Cohomology

Laplacian

Spectral

Analytic torsion form

Toeplitz operator

Résumé

Bismut-Ma-Zhang a donné une construction générale d'une famille de fibrés vectoriels plats {Fp}p∈N∗ sur toute variété compacte et ils ont exprimé le développement asymptotique de leurs torsions analytiques comme une intégrale d'une forme différentielle locale calculable sur la variété de base. En effet, ils ont travaillé dans un cadre général des formes de torsion analytique de Bismut-Lott. Notre résultat principal est d'étendre le travail de Bismut-Ma-Zhang pour obtenir un développement complet des torsions asymptotiques et donner une formule explicite pour le deuxième terme de l'asymptotique. Les techniques de la théorie de l'indice local dans le contexte en famille jouent un rôle important. En particulier, nous utilisons le changement d'échelle de deux types de variables de Clifford par Bismut-Zhang. La stratégie pour obtenir un développement complet est d'étudier l'asymptotique locale de certains noyaux de la chaleur. Nous utilisons la méthode de localisation analytique de Bismut-Lebeau. Après localisation et changement d'échelle du Laplacien LFp , nous obtenons un opérateur LFp . Nous devons décrire le développement complet de l'opérateur LFp par rapport au paramètre p ∈ N∗ dans un sens approprié. Habituellement, les fibrés vectoriels sont de dimensions constantes, nous pouvons donc toujours supposer que localement les fibrés vectoriels sont fixes et que les opérateurs ont leurs coefficients dans un espace fixe, alors que ce n'est non pas le cas ici. Les dimensions de {Fp}p∈N∗ croissent comme un polynôme quand p → +∞. Pour obtenir une estimation uniforme de p ∈ N∗, nous appliquons l'approche de Bismut-Ma-Zhang pour considérer tous les opérateurs dépendant de p ∈ N∗ en une seule fois avec les coefficients comme des opérateurs de Toeplitz.

Bismut-Ma-Zhang gave a general construction of a family of flat vector fibers {Fp}p∈N∗ on any compact manifold and they expressed the asymptotic expansion of their analytic torsions as an integral of a computable local differential form on the base manifold. Indeed, they worked in a general framework of Bismut-Lott analytic torsion forms. Our main result is to extend the work of Bismut-Ma-Zhang to obtain a complete expansion of asymptotic torsions and to give an explicit formula for the second term of th eexpansion. The techniques of family local index theory play an important role. In particular, we use the Bismut-Zhang’s rescaling of two types of Clifford variables. The strategy to obtain a complete development is to study the local asymptotics of some heat kernels. We use the analytical localization method of Bismut-Lebeau. After localization and scaling of the Laplacian LFp , we obtain an operator c LFp . We have to describe the complete expansion of the operator c LFp with respect to the parameter p ∈ N∗ in an appropriate sense. Usually, vector fibers are of constant dimensions, so we can always assume that locally the vector fibers are fixed and that the operators have their coefficients in a fixed space,while this is not the case here. The dimensions of {Fp}p∈N∗ grow like a polynomial when p → +∞. To obtain a uniform estimate of p ∈ N∗, we apply Bismut-Ma-Zhang’s approachto consider all operators depending on p ∈ N∗ at once with coefficients as Toeplitz operators.