Espaces de Banach et graphes métriques : interactions et applications

par Yoël Perreau

Projet de thèse en Mathématiques

Sous la direction de Gilles Lancien et de Antonin Procházka.

Thèses en préparation à Bourgogne Franche-Comté , dans le cadre de Carnot Pasteur , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques de Besançon (laboratoire) depuis le 01-10-2018 .


  • Résumé

    Au cours des quinze dernières années, la question du plongement des espaces métriques dans de bons espaces de Banach a rassemblé des chercheurs de différentes origines : informatique théorique, géométrie des espaces de Banach, théorie géométrique des groupes. Le point de départ est d'obtenir une meilleure compréhension d'espaces métriques complexes, tels que des graphes avec de nombreux sommets et arêtes, en les plongeant dans des espaces de Banach bien compris comme l'espace de Hilbert par exemple. En géométrie non linéaire des espaces de Banach, l'approche est inversée et on essaye de caractériser certaines propriétés linéaires des espaces de Banach en termes purement métriques. Par exemple, le programme de Ribe consiste à chercher des caractérisations métriques des propriétés locales des espaces de Banach (c'est dire de leurs sous-espaces de dimension finie) qui sont connues pour être stables par plongements grossièrement Lipschitz. Une direction de recherche voisine a été ouverte par les derniers travaux de N. Kalton qui a montré que certaines propriétés asymptotiques des espaces de Banach sont aussi des invariants non linéaires. Ces propriétés sont liées à la possibilité de plonger certains graphes fondamentaux non localement finis. L'objet principal de ce projet de recherche est d'explorer cette direction de recherche. De nombreuses questions restent ouvertes. Nous nous consacrerons tout particulièrement à deux d'entre elles. Tout d'abord, que peut-on dire d'un espace de Banach qui est universel pour les espaces métriques séparables et les plongements grossiers ? Dans un papier fondamental, N. Kalton a prouvé qu'ils ne peuvent être réflexifs. Ceci peut certainement être amélioré. Par ailleurs, nous souhaitons nous attaquer à la question de la stabilité de la lissité asymptotique uniforme et de la réflexivité par plongement grossièrement Lipschitz. Cette dernière question est particulièrement liée à celle du plongement des graphes de Hamming. Les techniques utilisées seront issues par exemple de la combinatoire infinie et de la théorie asymptotique des jeux.

  • Titre traduit

    Banach spaces and metric graphs: interactions and applications


  • Résumé

    These last fifteen years, the question of embeddability of metric spaces in good Banach spaces gathered researcher from different fields: computer science, geometry of Banach spaces, geometric theory of groups. The starting point is to get a better understanding of complex metric spaces, such as graphs with numerous vertices and edges, by embedding them into well known Banach spaces such as the Hilbert space for example. In non linear geometry of Banach spaces, the ideas are reversed and we try to characterize some linear properties of Banach spaces in purely metric terms. For example, the Ribe program consists in finding metric characterization of some local properties of Banach spaces (that is to say concerning their finite dimensional subspaces) which are known to be stable under coarse Lipschitz embeddings. A neighbor direction of study was open in the last works of N. Kalton who showed that some asymptotic properties of Banach spaces are also non linear invariants. These properties are linked to the possibility of the embedding of some fundamental non locally finite graphs. The main objects of this research project is to explore this direction. Many questions remains open. We will essentially study two of them. First, what can we say of a Banach space which is universal for separable metric spaces and coarse embeddings? In a fundamental paper, N. Klaton proved that they cannot be reflexive. This can certainly be strengthened. Second, we want to study the question of stability of asymptotic uniform smoothness and reflexivity by coarse Lipschitz embeddings. This question is in particular linked with embeddings of Hamming graphs. The techniques used comes for example from infinite combinatorics and asymptotic theory of games.