Processus d'Exclusion Simple Asymétrique à multi espèces (mASEP)

par Ali Zahra

Projet de thèse en Physique - ED EM2PSI

Sous la direction de Jean Avan et de Luigi Cantini.

Thèses en préparation à Cergy-Pontoise , dans le cadre de Ecole doctorale Économie, Management, Mathématiques , Physique et Sciences Informatiques (EM2PSI) (Cergy-Pontoise, Val d'Oise) , en partenariat avec LPTM - Laboratoire de physique théorique et modélisation (laboratoire) depuis le 01-10-2018 .


  • Résumé

    L'ASEP est l'un des modèles les plus simples, mais non triviaux, pour lesquels le la limite hydrodynamique peut être rigoureusement prouvée. A grande échelle, la distribution des particules de l'ASEP évolue selon l'équation de Burgers avec une faible viscosité. L'équation de Burgers est le prototype EDP pour la formation de chocs: une distribution initiale régulière peut développer une singularité (une discontinuité) en temps fini. Une question naturelle qui se pose est de savoir si ce choc est un artefact de la limite hydrodynamique ou si, dans certaines conditions spécifiques, l'ASEP d'origine présente une certaine singularité à l'échelle microscopique. Cette question a reçu une réponse positive: un choc existe au niveau du système de particules et sa largeur est de l'ordre de la taille du réseau. L'identification de la position du choc au niveau microscopique nécessite l'introduction d'un nouveau type de particule, appelé particule de deuxième classe. Cette particule de deuxième classe a la même dynamique qu'une particule normale (ou de première classe), tandis que les particules de première classe le traitent comme un trou. Il a été prouvé rigoureusement que la dynamique de la particule unique de seconde classe imite le mouvement du choc dans un système infini. Alternativement, en considérant une densité finie de particules de seconde classe dans un système périodique, la forme des fronts microscopiques a été exactement calculée. Le courant, dans le cas d'une seule particule de deuxième classe, ou d'une densité finie de particules de chaque type, est également calculable. Les généralisations naturelles des deux espèces de particules de première et de deuxième classe sont le processus d'exclusion multi-espèces, qui sont des modèles avec des taux de sauts dépendant des particules. Ces généralisations ont plusieurs autres motivations. Généralement, le transport biologique implique de multiples espèces en interaction dans des géométries confinées, souvent de nature unidimensionnelle, comme c'est le cas pour les nanopores. Dans l'étude de la circulation, différentes espèces de particules sont interprétées comme différents types de véhicules. L'analyse précédente montre comment les généralisations multispécifiques du modèle ASEP sont véritablement plus riches que le système d'origine, à la fois pour ce qui concerne le comportement mathématique et la phénoménologie qui en résulte.

  • Titre traduit

    Multispecies Asymmetric Simple Exclusion Process (mASEP)


  • Résumé

    The ASEP is one of the simplest, though non-trivial, models for which the hydrodynamic limit can be rigorously proved. At large scales, the distribution of particles of the ASEP evolves according to the Burgers equation with a vanishingly small viscosity. The Burgers equation is the prototype PDE for shock formation: a smooth initial distribution can develop a singularity (a discontinuity) in finite time. A natural question that arises is whether this shock is an artifact of the hydrodynamic limit or if, under some specific conditions, the original ASEP does display some singularity at the microscopic scale. This question was answered positively: a shock does exist at the level of the particle system and its width is of the order of the lattice size. The identification of the position of the shock at the microscopic level requires the introduction of a new type of particle, called a second-class particle. This second-class particle has the same dynamics as a normal (or first-class) particle, while the first-class particles treat it as a hole. It was proved rigorously that the dynamics of the unique second-class particle mimics the motion of the shock in an infinite system. Alternatively, by considering a finite density of second-class particles in a periodic system, the shape of the microscopic fronts were exactly calculated. The current, in the case of a single second-class particle, or of a finite density of particles of each type, is also calculable. Natural generalizations of the two species case of first- and second-class particles are the Multi-species Exclusion Process, which are models with particle-dependent hopping rates. These generalizations have several other motivations. Usually, biological transport involves multiple interacting species in confined geometries, often one-dimensional in nature, as is the case for nano-pores. In the study of traffic flow, different species of particles are interpreted as different kinds of vehicles. The previous analysis shows how multispecies generalizations of the ASEP model are genuinely richer than the original system, both for what concerns the mathematical behavior, and the resulting phenomenology.