Dynamique de l'équation de Klein-Gordon à valeurs propres mal séparées

par Pierre Brun

Projet de thèse en Mathématiques appliquées et calcul scientifique

Sous la direction de Rafik Imekraz.

Thèses en préparation à Bordeaux , dans le cadre de Mathématiques et Informatique , en partenariat avec IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux (laboratoire) et de EDP et Physique Mathématique (equipe de recherche) depuis le 12-09-2018 .


  • Résumé

    Le sujet de thèse porte sur la dynamique des équations non-linéaires de Klein-Gordon. Le but de la thèse est d'obtenir des résultats nouveaux dans le domaine de la croissance des normes de Sobolev de ces équations en attaquant des modèles non étudiés dans la littérature. Les nouvelles armes mathématiques au-delà de l'analyse standard (et pseudo-différentielle) sont la théorie des probabilités et des résultats fins en théorie de l'approximation diophantienne. La situation est assez bien comprise lorsque la variété étudiée est le tore unidimensionnel (Bourgain, 1996) ou les sphères (Bambusi-Delort-Grebért-Szeftel, 2007). En 2017, Delort et Imekraz ont montré, sous des conclusions dynamiques plus faibles, que l'on peut atteindre toute variété. A l'heure actuelle voici des champs qui méritent d'être prolongés : -Dans le travail de Delort-Imekraz, le résultat obtenu est implicite (de façon précise, les temps d'existence obtenus ne sont pas connus explicitement). Nous souhaitons rendre ces résultats explicites en travaillant par exemple sur des variétés compactes à courbure négative. Il est à noter que ce type de variété n'est pas étudié d'un point de vue non-linéaire (notamment en raison d'une très mauvaise connaissance de l'analyse spectrale). -A la place de l'opérateur Laplacien sur une variété compacte, on souhaite également étudier des situations non compactes mais compensées par des potentiels quadratiques. Autrement dit, on souhaite étudier l'oscillateur harmonique sur R^d. L'un des buts est de prolonger certains résultats de [Zhang,2016]. Nous pensons aussi que cette approche permettrait de traiter des potentiels quadratiques à coefficients algébriques (voire quelconques). -Dans les approches actuelles, les valeurs propres (par le biais de la qualité de leur séparation) constituent l'obstruction primordiale. Une fois cette obstruction passée, les fonctions propres méritent une attention particulière. Malheureusement, hormis des cas explicites, les fonctions propres ne sont pas calculables explicitement. Nous souhaitons étudier l'impact de l'utilisation de fonctions propres aléatoires. Ces dernières ont l'avantage de vérifier des estimations souvent optimales (Burq-Lebeau 2006, Thomann-Robert 2014). On devrait obtenir un gain qu'il s'agit d'utiliser convenablement.

  • Titre traduit

    Dynamics of Klein-Gordon equations with badly separated eigenvalues


  • Résumé

    The thesis deals with the dynamics of non-linear Klein-Gordon equations. The goal is to obtain new results for the growth of the Sobolev norms of those equations by working on models that are not studied in the known literature. The new mathematics tools we want to exploit are the proability theory and the theory of Diophantine approximations. The issue is well understood if the manifold is the uni-dimensional torus [Bourgain, 1996] or spheres [Bambusi, Delort, Grebert, Szeftel, 2007]. in [Delort-Imekraz, 2017], every compact manifold is studied. Here are several themes deserving to be continued : -in the work [Delort-Imekraz, 2017], the result is implicit (the long time existence is not known explicitly). We want to make such result explicit for instance for negatively curved manifolds. Such manifolds are not really studied in a non-linear context because of the bad behavior of the eigenvalues. -instead of the Laplacian on a compact manifold, we also want to study noncompact models as the harmonic oscillator. One aims to extend previous results of [Zhang, 2016]. We believe that we can reach any harmonic oscillator with algebraic coefficients (and maybe without algebraic assumptions) -finally, we want to use recent improvements of Lp bounds of eigenfunctions (Burq-Lebeau 2006 or Thomann-Robert) to improve long time existence results for the Klein-Gordon equations.